《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

7. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于点D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论中正确的有(D)
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=$\frac{1}{2}$AC；④DE是⊙O的切线.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 7.D

8. 如图，在△ABC中，∠BAC=28°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE//CB，连接BD，若添加一个条件，使BC是⊙O的切线，则下列四个条件中不符合的是(D)

A.DE⊥AB
B.∠EDB=28°
C.∠ADE=∠ABD
D.OB=BC

答案： 8.D

9. （东营中考）如图，以等边三角形ABC的边BC为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF=1.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求线段OF的长.
]

答案： 9.解：
(1)证明：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠A = 60°.
∵OC = OD，
∴△OCD是等边三角形.
∴∠CDO=∠A = 60°.
∴OD//AB.
∵DF⊥AB，
∴∠FDO=∠AFD = 90°.
∴OD⊥DF.又
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线.
(2)
∵OD//AB，OC = OB，
∴OD是△ABC的中位线.
∵∠AFD = 90°，∠A = 60°，
∴∠ADF = 30°.
∵AF = 1，
∴CD = OD = AD = 2AF = 2.在Rt△ADF中，DF²=AD²-AF²=3.在Rt△ODF中，OF=√(OD²+DF²)=√(2²+3)=√7.

10. （泰安期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE.
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC²=CD·2OE；
（3）若sin∠BAD=$\frac{3}{5}$，BE=6，求OE的长.
]

答案： 10.解：
(1)DE与⊙O相切，理由：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC = 90°.在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE = DE = BE=1/2BC.
∴∠C=∠CDE.
∵OA = OD，
∴∠A=∠ADO.
∵∠ABC = 90°，
∴$∠C+\angle A = 90°.$
∴$∠ADO+\angle CDE = 90°.$
∴∠ODE = 90°.
∴DE⊥OD.又
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线.
(2)证明：
∵E是BC的中点，O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线.
∴AC = 2OE.
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC.
∴BC/CD=AC/BC，即BC²=AC·CD.
∴BC²=CD·2OE.
(3)
∵OE//AC，
∴∠BAD=∠BOE.
∴sin∠BOE=sin∠BAD=3/5.
∴BE/OE=3/5.
∵BE = 6，
∴OE=5/3BE = 10.