《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

12. 在$Rt\triangle ABC$中,已知$\angle B = 90^{\circ}$,$AB=\sqrt{3}BC$,则$\angle C=$(C)

A.$45^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$50^{\circ}$

答案： 12.C

13. 菱形$OABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示,若$\angle AOC = 45^{\circ}$,$OC=\sqrt{2}$,则点$B$的坐标为(C)

A.$(\sqrt{2},1)$
B.$(1,\sqrt{2})$
C.$(\sqrt{2}+1,1)$
D.$(1,\sqrt{2}+1)$

答案： 13.C

14. (1)计算:$2\cos 30^{\circ}-\tan 45^{\circ}-\sqrt{(1-\tan 60^{\circ})^{2}}$；
(2)已知$\alpha$是锐角,且$\sin (\alpha +15^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$,求$\sqrt{8}-4\cos \alpha -(\pi - 3.14)^{0}+\tan \alpha +(\frac{1}{3})^{-1}$的值.

答案： 14.解：
(1)原式=$2×\frac{\sqrt{3}}{2}-1-|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+1=0$.
(2)$\because \alpha$为锐角，由$\sin(\alpha +15^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$得$\alpha=45^{\circ}$,$\therefore$原式=$2\sqrt{2}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}-1+1+3=3$.

15. 如图 1,圆规两脚形成的$\angle \alpha$称为圆规的张角.一个圆规两脚均为$12\ cm$,最大张角$120^{\circ}$,你能否用该圆规画出一个半径为$20\ cm$的圆?请借助图 2 说明理由.

答案： 15.解：$\because \triangle ABC$是等腰三角形，$\angle BAC=120^{\circ}$,$\therefore \angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$.过点A作$AD\bot BC$于点D，$\therefore BD=AB\cdot \cos B=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\approx10.4(cm)$,$BC=2BD\approx20.8cm＞20cm$.$\therefore$能画出一个半径为20cm的圆.

16.【阅读理解问题】(教材九上 P34 习题 T5 变式与应用)阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题.
①$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$,$\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,则$\sin ^{2}30^{\circ}+\cos ^{2}30^{\circ}=$1,$\frac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}=$$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②$\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\tan 45^{\circ}=1$,则$\sin ^{2}45^{\circ}+\cos ^{2}45^{\circ}=$1,$\frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}=$1；
③$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$,$\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$,则$\sin ^{2}60^{\circ}+\cos ^{2}60^{\circ}=$1,$\frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}}=$$\sqrt{3}$；
……
观察上述等式,猜想:对于任意锐角$\alpha$,都有$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =$1,$\tan \alpha$与$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$之间的关系是$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
(1)如图,在锐角三角形$ABC$中,利用三角函数的定义及勾股定理证明上述你的猜想；
(2)已知$\angle A$为锐角($\cos A＞0$)且$\sin A=\frac{3}{5}$,求$\cos A$,$\tan A$的值.

答案： 16.解：$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 1 1 1 $\frac{\sqrt{3}}{1}$ 1 $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
(1)过点B作$BD\bot AC$于点D，则$\angle ADB=90^{\circ}$.$\because \sin A=\frac{BD}{AB}$,$\cos A=\frac{AD}{AB}$,$\tan A=\frac{BD}{AD}$,$\therefore \sin^{2}A+\cos^{2}A=(\frac{BD}{AB})^{2}+(\frac{AD}{AB})^{2}=\frac{BD^{2}+AD^{2}}{AB^{2}}$,$\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{BD}{AB}÷\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$.$\therefore \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$.$\because \angle ADB=90^{\circ}$,$\therefore BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$.$\therefore \sin^{2}A+\cos^{2}A=1$.
(2)$\because \sin A=\frac{3}{5}$,$\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$,$\therefore \cos A=\sqrt{1-\sin^{2}A}=\frac{4}{5}$,$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{3}{4}$.