《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

9. (泰安新泰市校级月考)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$AC = 2\sqrt{3}$，则$AB$的长是(C)

A.$4$
B.$3 + \sqrt{3}$
C.$5$
D.$2 + 2\sqrt{3}$

答案： 9.C

10. 如图，王明同学画了两个不同形状的三角形，并将有关数据在图中进行了标注，两个三角形的面积分别记为$S_{\triangle ABC}$和$S_{\triangle DEF}$，则(C)

A.$S_{\triangle ABC} ＞ S_{\triangle DEF}$
B.$S_{\triangle ABC} ＜ S_{\triangle DEF}$
C.$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle DEF}$
D.无法确定面积关系

答案： 10.C

11. 如图，已知$\tan O = \frac{4}{3}$，点$P$在边$OA$上，$OP = 5$，点$M$，$N$在边$OB$上，$PM = PN$.如果$MN = 2$，那么$PM =$\sqrt{17}.

答案： $11.\sqrt{17}$

12. (襄阳中考)如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线，$\tan B = \frac{1}{3}$，$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$AC = \sqrt{2}$.
(1)求$BC$的长；
(2)求$\sin\angle ADC$的值.

答案： 12.解：
(1)过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.
∵$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}，$
∴∠C = 45°。
在$ Rt\triangle ACE $中，
∵$AC = \sqrt{2}，$$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}，$
∴$AE = CE = AC \cdot \cos C = 1. $在$ Rt\triangle ABE $中，$\tan B = \frac{AE}{BE} = \frac{1}{3}．$
∴BE = 3AE = 3.
∴BC = BE + CE = 3 + 1 = 4.
(2)
∵AD 是$ \triangle ABC $的中线，
∴$CD = \frac{1}{2}BC = 2. $
∴DE = CD - CE = 2 - 1 = 1.
∵AE⊥BC，AE = DE，
∴∠ADC = 45°.
∴$\sin\angle ADC = \frac{\sqrt{2}}{2}．$

13. (教材九上 P45 习题 T4 变式与应用)阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题：如图 1，在四边形$ABCD$中，$\angle A = \angle C = 90^{\circ}$，$\angle D = 60^{\circ}$，$AB = 4\sqrt{3}$，$BC = \sqrt{3}$，求$AD$的长. 小红发现，延长$AB$与$DC$相交于点$E$，通过构造$Rt\triangle ADE$，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图 2).
(1)请回答：$AD$的长为6；
(2)参考小红思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形$ABCD$中，$\tan A = \frac{1}{2}$，$\angle B = \angle C = 135^{\circ}$，$AB = 9$，$CD = 3$，求$BC$和$AD$的长.

答案： 13.解：
(1)6
(2)延长 AB 与 DC 相交于点 E.
∵∠ABC = ∠BCD = 135°，
∴∠EBC = ∠ECB = 45°.
∴BE = CE，∠E = 90°. 设 BE = CE = x，则$ BC = \sqrt{2}x，$AE = 9 + x，DE = 3 + x. 在$ Rt\triangle AED $中，∠E = 90°，
∵$\tan A = \frac{1}{2}，$
∴$\frac{DE}{AE} = \frac{1}{2}，$即$ \frac{3 + x}{9 + x} = \frac{1}{2}．$
∴x = 3. 经检验，x = 3 是所列方程的解，且符合题意.
∴$BC = 3\sqrt{2}，$AE = 12，DE = 6.
∴$AD = \sqrt{AE^{2} + DE^{2}} = \sqrt{12^{2} + 6^{2}} = 6\sqrt{5}．$