《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

1. (娄底中考节选)如图，抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 过点 $ A(-1,0) $，$ B(5,0) $，交 $ y $ 轴于点 $ C $. 点 $ P(x_0,y_0)(0 ＜ x_0 ＜ 5) $ 是抛物线上的动点，当 $ x_0 $ 取何值时，$ \triangle PBC $ 的面积最大？并求出 $ \triangle PBC $ 面积的最大值.

答案： 1.解：$\because$抛物线$y=x^{2}+bx + c$过点A$(-1,0)$，B$(5,0)$，$\therefore$抛物线的表达式为$y=(x + 1)(x - 5)=x^{2}-4x - 5$。令$x = 0$，则$y=-5$，$\therefore$C$(0,-5)$。直线BC的表达式为$y=x - 5$，P$(x_{0},x_{0}^{2}-4x_{0}-5)$。过点P作$x$轴的垂线，交线段BC于点D。$\therefore$D$(x_{0},x_{0}-5)$。$\therefore$PD=$x_{0}-5-x_{0}^{2}+4x_{0}+5=-x_{0}^{2}+5x_{0}$。$\therefore S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}PD\cdot(x_{B}-x_{C})=\frac{5}{2}(-x_{0}^{2}+5x_{0})=-\frac{5}{2}x_{0}^{2}+\frac{25}{2}x_{0}=-\frac{5}{2}(x_{0}-\frac{5}{2})^{2}+\frac{125}{8}$。$\therefore$当$x_{0}=\frac{5}{2}$时，$\triangle PBC$的面积最大，最大值为$\frac{125}{8}$。

2. (东营中考节选)如图，抛物线 $ y = x^2 - 2x - 3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，$ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $. 在对称轴上找一点 $ Q $，使 $ \triangle ACQ $ 的周长最小，求点 $ Q $ 的坐标及 $ \triangle ACQ $ 的周长.

答案： 2.解：连接CB交对称轴于点Q，连接AQ。在$y=x^{2}-2x - 3$中，令$y = 0$，则$x^{2}-2x - 3 = 0$，解得$x=-1$或$x = 3$；令$x = 0$，则$y=-3$。$\therefore$A$(-1,0)$，B$(3,0)$，C$(0,-3)$。$\because y=x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = 1$。$\because$点A，B关于对称轴$x = 1$对称，$\therefore$AQ = BQ。$\therefore$AC + AQ + CQ = AC + CQ + BQ$\geqslant$AC + BC。$\therefore$当C，B，Q三点共线时，$\triangle ACQ$的周长最小。设直线BC的表达式为$y=kx + b$，则$\begin{cases}b=-3,\\3k + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 1,\\b=-3.\end{cases}$ $\therefore$y=$x - 3$。$\therefore$Q$(1,-2)$。$\because$A$(-1,0)$，B$(3,0)$，C$(0,-3)$，$\therefore$AC=$\sqrt{10}$，BC=$3\sqrt{2}$，$\therefore\triangle ACQ$的周长为$\sqrt{10}+3\sqrt{2}$。