《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

8. (西藏中考)如图,一次函数$y = x + 2$与反比例函数$y = \frac{a}{x}$的图象交于$A$,$B$两点,且点$A$的坐标为$(1,m)$,点$B$的坐标为$(n,-1)$.
(1)求$m$,$n$的值和反比例函数的表达式;
(2)点$A$关于原点$O$的对称点为点$A'$,在$x$轴上找一点$P$,使$PA' + PB$最小,求出点$P$的坐标.

答案： 8.解：
(1)将$A(1,m)$，$B(n,-1)$分别代入$y=x+2$，得$m=1+2$，$-1=n+2$，解得$m=3$，$n=-3$．
∴$A(1,3)$，$B(-3,-1)$．将点$(1,3)$代入$y=\frac{a}{x}$，得$a=3$．
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$．
(2)作点$B$关于$x$轴的对称点$B'$，连接$A'B'$交$x$轴于点$P$，连接$PB$．
∵$PB=PB'$，
∴$PA'+PB=PA'+PB'\geqslant A'B'$．
∴当$A'$，$P$，$B'$三点共线时，$PA'+PB$最小．
∴点$P$即为所求．
∵$A(1,3)$，点$A$与点$A'$关于原点$O$对称，
∴点$A'$的坐标为$(-1,-3)$．又
∵$B(-3,-1)$，点$B$与点$B'$关于$x$轴对称，
∴点$B'$的坐标为$(-3,1)$．设直线$A'B'$的表达式为$y=kx+b$，将$A'(-1,-3)$，$B'(-3,1)$代入，得$\begin{cases}-k+b=-3\\-3k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=-5\end{cases}$．
∴直线$A'B'$的表达式为$y=-2x-5$．当$y=0$时，$x=-2.5$．
∴点$P$的坐标为$(-2.5,0)$．

9. (泰安中考)如图,一次函数$y_1 = -2x + 2$的图象与反比例函数$y_2 = \frac{k}{x}$的图象分别交于点$A$,$B$,与$y$轴、$x$轴分别交于点$C$,$D$,作$AE \perp y$轴,垂足为$E$,$OE = 4$.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)在第二象限内,当$y_1 ＜ y_2$时,直接写出$x$的取值范围;
(3)点$P$在$x$轴负半轴上,连接$PA$,且$PA \perp AB$,求点$P$的坐标.

答案： 9.解：
∵$AE⊥y$轴，$OE=4$，
∴点$A$的纵坐标为$4$．
∵将$y_1=4$代入$y_1=-2x+2$，得$4=-2x+2$，解得$x=-1$．
∴$A(-1,4)$．
∵点$A$在反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=-1×4=-4$．
∴反比例函数的表达式为$y_2=-\frac{4}{x}$．
(2)$x$的取值范围为$-1＜x＜0$．
(3)方法一：
∵一次函数$y_1=-2x+2$的图象与$y$轴、$x$轴分别交于点$C$，$D$，
∴$C(0,2)$，$D(1,0)$．
∴$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$．
∵$OE=4$，
∴$OC=CE=2$．
∵$\angle AEC=\angle DOC=90°$，$\angle ACE=\angle DCO$，
∴$\triangle AEC≌\triangle DOC(ASA)$．
∴$AC=DC$．
∴$AD=2DC=2\sqrt{5}$．
∵$PA⊥AB$，
∴$\angle PAD=\angle COD=90°$．
∵$\angle PDA=\angle CDO$，
∴$\triangle PAD∽\triangle COD$．
∴$\frac{PD}{CD}=\frac{AD}{OD}$，即$\frac{PD}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{1}$．
∴$PD=10$．
∴$PO=9$．
∴点$P$的坐标为$(-9,0)$．方法二：
∵$PA⊥AB$，
∴可设直线$PA$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+b$．把$A(-1,4)$代入，得$4=-\frac{1}{2}+b$，解得$b=\frac{9}{2}$．
∴直线$PA$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$．当$y=0$时，$x=-9$．
∴点$P$的坐标为$(-9,0)$．