《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

1. (东营市东营区一模节选)如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,点 $ E $ 是 $ BC $ 的中点,以 $ AC $ 为直径的 $ \odot O $ 与 $ AB $ 边交于点 $ D $,连接 $ DE $.判断直线 $ DE $ 与 $ \odot O $ 的位置关系,并说明理由.

答案： 1.解：直线$DE$与$\odot O$相切.理由：连接$DO$，$\because AC$是$\odot O$的直径.
$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}.\therefore \angle BDC = 90^{\circ}.\because$点$E$为$BC$的中点，$\therefore DE = CE = BE.\therefore \angle EDC = \angle ECD.\because OD = OC$，$\therefore \angle ODC = \angle OCD.\because \angle OCD + \angle DCE = \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle EDC + \angle ODC = 90^{\circ}$，即$\angle EDO = 90^{\circ}.\therefore DE \perp OD.\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore DE$与$\odot O$相切.

2. (滨州中考改编)如图,$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径,点 $ C $ 在 $ \odot O $ 上,$ AD \perp CD $ 于点 $ D $,且 $ AC $ 平分 $ \angle DAB $.求证:直线 $ DC $ 是 $ \odot O $ 的切线.

答案： 2.证明：连接$OC$，$\because OA = OC$，$\therefore \angle OAC = \angle OCA.\because AC$平分$\angle DAB$，$\therefore \angle OAC = \angle DAC.\therefore \angle DAC = \angle OCA.\therefore OC// AD$.
又$\because AD \perp CD$，$\therefore OC \perp DC$.又$\because$点$C$在$\odot O$上，$\therefore DC$是$\odot O$的切线.

3. (南充中考改编)如图,$ C $ 是 $ \odot O $ 上一点,点 $ P $ 在直径 $ AB $ 的延长线上,$ \odot O $ 的半径为 $ 3 $,$ PB = 2 $,$ PC = 4 $.求证:$ PC $ 是 $ \odot O $ 的切线.

答案： 3.证明：连接$OC.\because \odot O$的半径为$3$，$\therefore OC = OB = 3$.又$\because PB = 2$，$\therefore OP = 5$.在$\triangle OCP$中，$OC^{2} + PC^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 5^{2} = OP^{2}$，
$\therefore \triangle OCP$为直角三角形，$\angle OCP = 90^{\circ}.\therefore OC \perp PC.\because C$是$\odot O$上一点，$\therefore PC$为$\odot O$的切线.

4. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ BC \perp AB $ 于点 $ B $,连接 $ OC $ 交 $ \odot O $ 于点 $ E $,弦 $ AD // OC $.求证:
(1)$ \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{BE} $;
(2)$ CD $ 是 $ \odot O $ 的切线.

答案： 4.证明：
(1)连接$OD.\because AD// OC$，$\therefore \angle DAO = \angle COB$，$\angle ADO = \angle COD$.又$\because OA = OD$，$\therefore \angle DAO = \angle ADO.\therefore \angle COB = \angle COD.\therefore DE = BE$.
(2)由
(1)知$\angle DOE = \angle BOE$，在$\triangle COD$和$\triangle COB$中，$\begin{cases} CO = CO, \\ \angle COD = \angle COB, \\ OD = OB, \end{cases}\therefore \triangle COD \cong \triangle COB(SAS)$.
$\therefore \angle CDO = \angle B$.又$\because BC \perp AB$，$\therefore \angle CDO = \angle B = 90^{\circ}.\because$点$D$在$\odot O$上，$\therefore CD$是$\odot O$的切线.