《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

11. 如图，已知$A$，$B$，$C$，$D$是$\odot O$上的四个点，$AB = BC$，$BD$交$AC$于点$E$，连接$CD$，$AD$. 求证：$DB$平分$\angle ADC$.

答案： 11.证明：
∵AB=BC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}．$
∴∠ADB=∠BDC．
∴DB平分∠ADC．

12. 已知$\odot O$的弦$AB$的长等于$\odot O$的半径，则此弦$AB$所对的圆周角的度数为 30°或150° ______.

答案： 12.30°或150°

13. (枣庄中考)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点$C$在半圆上. 点$A$，$B$的读数分别为$86^{\circ}$，$30^{\circ}$，则$\angle ACB$的度数是 (A)

A.$28^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$56^{\circ}$

答案： 13.A

14. (扬州中考)如图，由边长为$1$的小正方形构成的网格中，点$A$，$B$，$C$都在格点上，以$AB$为直径的圆经过点$C$，$D$，则$\sin \angle ADC$的值为 (A)

A.$\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$
B.$\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{3}{2}$

答案： 14.A

15. (泰安中考)如图，点$A$，$B$，$C$是$\odot O$上的三点，且四边形$ABCO$是平行四边形，$OF \perp OC$交$\odot O$于点$F$，则$\angle BAF$等于 (B)

A.$12.5^{\circ}$
B.$15^{\circ}$
C.$20^{\circ}$
D.$22.5^{\circ}$

答案： 15.B

16. 如图，$AB$是$\odot O$的一条弦，$OD \perp AB$，垂足为$C$，交$\odot O$于点$D$，点$E$在$\odot O$上.
(1)若$\angle AOD = 52^{\circ}$，求$\angle DEB$的度数；
(2)若$OC = 3$，$OA = 6$，求$\tan \angle DEB$的值.

答案： 16.解：
(1)连接OB，
∵OD⊥AB，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}．$
∴∠BOD=∠AOD=52°．
∴$∠DEB=\frac{1}{2}∠BOD=26°．(2)$
∵OD⊥AB，OC=3，OA=6，
∴$OC=\frac{1}{2}OA，$即∠OAC=30°．
∴∠AOC=60°．
∴$∠DEB=\frac{1}{2}∠AOC=30°．$
∴$tan∠DEB=\frac{\sqrt{3}}{3}．$

17. (台州中考)如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，点$E$在对角线$AC$上，$EC = BC = DC$.
(1)若$\angle CBD = 39^{\circ}$，求$\angle BAD$的度数；
(2)求证：$\angle 1 = \angle 2$.

答案： 17.解：
(1)
∵BC=DC，
∴$\widehat{BC}=\widehat{DC}．$
∴∠BAC=∠CAD=∠CBD．
∵∠CBD=39°，
∴∠BAC=∠CAD=39°．
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°．
(2)证明：
∵EC=BC，
∴∠CBE=∠CEB．
∵∠CBE=∠1+∠CBD，∠CEB=∠2+∠BAC，
∴∠1+∠CBD=∠2+∠BAC．又
∵∠BAC=∠CBD，
∴∠1=∠2．