《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

6. (泰安中考节选)如图，二次函数 $ y = x^2 + 5x + 4 $ 的图象经过点 $ A(-4,0) $，$ B(-1,0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $. 小明经过探究发现：位于 $ x $ 轴下方的抛物线上，存在一点 $ D $，使 $ \angle DAB $ 与 $ \angle ACB $ 互为余角. 你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点 $ D $ 的坐标；若不正确，请说明理由.

答案： 6.解：正确。作BF$\perp$AC于点F，延长AD交$y$轴于点E。$\therefore\angle BFA=\angle BFC = 90^{\circ}$。$\because\angle ACB+\angle CBF = 90^{\circ}$，$\angle ACB+\angle DAB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle DAB=\angle CBF$。$\because\angle AOC = 90^{\circ}$，OA = OC = 4，$\therefore\angle CAO = 45^{\circ}$，AC = $4\sqrt{2}$。$\because$AB = 3，$\therefore$AF = BF = AB$\cdot\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。$\therefore$CF = AC - AF = $4\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。$\therefore\tan\angle DAB=\tan\angle CBF=\frac{CF}{BF}=\frac{5}{3}$。$\therefore\frac{OE}{OA}=\frac{5}{3}$。$\therefore$OE=$\frac{20}{3}$。$\therefore$E$(0,-\frac{20}{3})$。$\therefore$直线AD的表达式为$y=-\frac{5}{3}x-\frac{20}{3}$。联立$\begin{cases}y=x^{2}+5x + 4,\\y=-\frac{5}{3}x-\frac{20}{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}x_{1}=-4,\\y_{1}=0.\end{cases}$（舍去），$\begin{cases}x_{2}=-\frac{8}{3},\\y_{2}=-\frac{20}{9}.\end{cases}$ $\therefore$D$(-\frac{8}{3},-\frac{20}{9})$。$\therefore$存在D$(-\frac{8}{3},-\frac{20}{9})$，使$\angle DAB$与$\angle ACB$互为余角。