《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

6. 如图，点 $ A $，$ B $ 在反比例函数 $ y = \frac{12}{x} $ 的图象上，点 $ A $，$ B $ 的纵坐标分别是 $ 3 $ 和 $ 6 $，连接 $ OA $，$ OB $，$ AB $，则 $ \triangle OAB $ 的面积是9.
(第6题)

答案： 6.9

7. 如图，$ Rt \triangle ABO $ 的顶点 $ A $ 是双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 与直线 $ y = -x - (k + 1) $ 在第二象限的交点，$ AB \perp x $ 轴于点 $ B $，且 $ S_{\triangle ABO} = \frac{3}{2} $.
(1) 分别求出双曲线和直线的表达式.
(2) 求直线与双曲线的两个交点 $ A $，$ C $ 的坐标和 $ \triangle AOC $ 的面积.
(第7题)

答案： 7.解：
(1)设点$A$的坐标为$(x,y)$，且$x ＜ 0,y ＞ 0$，则$S_{\triangle ABO} = \frac{1}{2}|BO| · |BA| =$
$\frac{1}{2}(-x) · y = \frac{3}{2}$，$\therefore xy = -3$.又$\because y = \frac{k}{x}$，即$xy = k$，$\therefore k = -3.\therefore$双曲线和直
线的表达式分别为$y = -\frac{3}{x}$，$y = -x + 2$。
(2)由$y = -x + 2$，令$x = 0$，得$y =$
2.设直线$y = -x + 2$与$y$轴的交点为$D$，则点$D$的坐标为$(0,2).\because$点$A,C$都
在反比例函数的图象上，$\therefore$联立$\begin{cases} y = -x + 2, \\ y = -\frac{3}{x}, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1 = -1, \\ y_1 = 3, \end{cases} \begin{cases} x_2 = 3, \\ y_2 = -1. \end{cases}\therefore$点$A$
的坐标为$(-1,3)$，点$C$的坐标为$(3,-1).\therefore S_{\triangle AOC} = S_{\triangle ODA} + S_{\triangle ODC} = \frac{1}{2}OD ·$
$(|x_1| + |x_2|) = \frac{1}{2} × 2 × (3 + 1) = 4$。