《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

5.如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $P$ 是对角线 $BD$ 上的一点，过点 $C$ 作 $CQ// DB$，且 $CQ = DP$，连接 $AP$，$BQ$，$PQ$.
(1)求证：$\triangle APD\cong\triangle BQC$.
(2)若 $\angle ABP+\angle BQC = 180^{\circ}$，求证：四边形 $ABQP$ 是菱形.

答案： 5.证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵CQ//DB，
∴∠BCQ=∠DBC，
∴∠ADB=∠BCQ.又
∵DP=CQ，
∴△ADP≌△BCQ.　
(2)
∵CQ//DB，且CQ=DP，
∴四边形CQPD是平行四边形，
∴CD=QP，CD//QP.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴AB=QP，AB//QP，
∴四边形ABQP是平行四边形.由
(1)知，△ADP≌△BCQ，
∴∠APD=∠BQC.
∵∠APD+∠APB=180°，∠ABP+∠BQC=180°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AB=AP，
∴四边形ABQP是菱形.

6.如图，在 $□ ABCD$ 中，以点 $B$ 为圆心、$BA$ 的长为半径画弧，交 $BC$ 于点 $E$，在 $AD$ 上截取 $AF = BE$.连接 $EF$.
(1)求证：四边形 $ABEF$ 是菱形.
(2)请用无刻度的直尺在 $□ ABCD$ 内找一点 $P$，使 $\angle APB = 90^{\circ}$.（标出点 $P$ 的位置，保留作图痕迹，不写作法）

答案：
6.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF//BE.又
∵AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵BA=BE，
∴四边形ABEF是菱形.

(2)解:如图，点P即为所求.