《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

5. 如图，$D$是$\triangle ABC$的边$BC$上的一点，$\angle BAD = \angle C$，$\angle ABC$的平分线分别与$AC$，$AD$相交于点$E$，$F$，则图中共有3对相似三角形。(不添加辅助线)

答案： 5.3

6. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，翻折$\angle C$，使点$C$落在斜边$AB$上某一点$D$处，折痕为$EF$(点$E$，$F$分别在边$AC$，$BC$上)。
(1)若以$CEF$为顶点的三角形与以$ABC$为顶点的三角形相似。
①当$AC = BC = 2$时，$AD$的长为$\sqrt{2}$。
②当$AC = 3$，$BC = 4$时，$AD$的长为1.8或2.5。
(2)当点$D$是$AB$的中点时，$\triangle CEF$与$\triangle CBA$相似吗？请说明理由。

答案： 6.
(1)①$\sqrt{2}$ ②1.8或2.5 提示：若$\triangle CEF$与$\triangle ABC$相似.①当$AC=BC=2$时，$\triangle ABC$为等腰直角三角形，此时$D$为$AB$边的中点，$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\sqrt{2}$;②当
$AC=3$，$BC=4$时，有两种情况.第一种：若$CE:CF=3:4$，$\because \triangle ACB\sim\triangle ECF$，$\therefore \angle CEF=\angle CAB$，$\therefore EF// AB$.由折叠的性质可知，$CD\perp EF$，$\therefore CD\perpAB$，$\therefore \triangle ACD\sim\triangle ABC$.在$Rt\triangle ABC$中，$AC=3$，$BC=4$，$\therefore AB=5$，$\therefore AD=1.8$.
第二种：若$CF:CE=3:4$，$\because \triangle CEF\sim\triangle CBA$，$\therefore \angle CEF=\angle B$.由折叠的性质可知，$\angle CEF+\angle ECD=90°$，又$\because \angle A+\angle B=90°$，$\therefore \angle A=\angle ECD$，$\therefore AD=$
$CD$.同理可得$\angle B=\angle FCD$，$CD=BD$，$\therefore$此时$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5$.综上所述，当$AC=3$，$BC=4$时，$AD$的长为1.8或2.5.
(2)解：当点$D$是$AB$的中点
时，$\triangle CEF$与$\triangle CBA$相似.理由如下：连接$CD$，与$EF$交于点$Q$.$\because CD$是
$Rt\triangle ABC$的中线，$\therefore CD=DB=\frac{1}{2}AB$，$\therefore \angle DCB=\angle B$.由折叠的性质可知，
$\angle CQF=\angle DQF=90°$，$\therefore \angle DCB+\angle CFE=90°$.$\because \angle B+\angle A=90°$，$\therefore \angle CFE=\angle A$.又$\because \angle C=\angle C$，$\therefore \triangle CEF\sim\triangle CBA$.