《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

6. 如图，在边长为 10 的菱形 $ABCD$ 中，对角线 $BD = 16$，点 $O$ 是直线 $BD$ 上的动点，$OE\perp AB$ 于点 $E$，$OF\perp AD$ 于点 $F$。
(1) 对角线 $AC$ 的长是12，菱形 $ABCD$ 的面积是96。
(2) 如图 1，当点 $O$ 在对角线 $BD$ 上运动时，$OE + OF$ 的值是否发生变化？请说明理由。
(3) 如图 2，当点 $O$ 在对角线 $BD$ 的延长线上时，$OE + OF$ 的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究 $OE$，$OF$ 之间的数量关系，并说明理由。

答案： 6.
(1)12 96
(2)解：OE+OF的值不变.理由如下：延长EO交CD于点G.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∵OE⊥AB，
∴EG⊥CD.
∵BD平分∠ADC，OF⊥AD，OG⊥CD，
∴OF=OG.
∵EG·CD=96，CD=10，
∴EG=9.6，
∴OE+OF=OE+OG=EG=9.6，
∴OE+OF的值不变.
(3)解：OE+OF的值发生变化，OE-OF=9.6.理由如下：延长CD交OE于点H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BE//CH.
∵OE⊥BE，
∴OE⊥DH.
∵BD平分∠ADC，
∴OD平分∠HDF.
∵OF⊥AD，OH⊥DH，
∴OH=OF.
∵CD·EH=96，CD=10，
∴EH=9.6，
∴OE-OF=OE-OH=EH=9.6.