《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

1. 下列函数中，$y$是$x$的反比例函数的是(D)

A.$x(y - 1) = 1$
B.$y = \frac{1}{x + 1}$
C.$y = \frac{1}{x^2}$
D.$y = \frac{1}{3x}$

答案： 1.D

2. 若$y$与$-3x$成反比例，$x$与$\frac{4}{z}$成正比例，则$y$是$z$的(A)

A.正比例函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.不能确定

答案： 2.A

3. 函数$y = (m + 1)x^{m^2 - m - 3}$是$y$关于$x$的反比例函数，则$m =$2.

答案： 3.2

4. 若反比例函数$y = (m - 2)x^{2m + 1}$的函数值为$\frac{1}{3}$，则自变量$x$的值为-9.

答案： 4.-9

5. 已知$y = y_1 + y_2$，$y_1$与$x^2$成正比例函数关系，$y_2$与$x$成反比例函数关系，且当$x = 1$时，$y = 3$；当$x = -1$时，$y = 1$.
(1) 求$y$与$x$之间的函数表达式.
(2) 当$x = -\frac{1}{2}$时，求$y$的值.

答案： 5.解：
(1)设 y₁ = k₁x²，$y₂ = \frac{k₂}{x}(k₁ ≠ 0,k₂ ≠ 0)，$则$ y = k₁x² + \frac{k₂}{x}①。$将 x = 1,y = 3和 x = -1,y = 1 分别代入①，得$\begin{cases}k₁ + k₂ = 3,\\k₁ - k₂ = 1.\end{cases}$解得$\begin{cases}k₁ = 2,\\k₂ = 1.\end{cases} $
∴ y 与 x 之间的函数表达式为$ y = 2x² + \frac{1}{x}。$
(2)当$ x = -\frac{1}{2}$时，$y = 2×(-\frac{1}{2})² + \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -\frac{3}{2}。$