《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

5. 如图,过$\triangle ABC$ 的顶点 $A$ 分别作 $\angle ACB$ 及其外角的平分线的垂线,垂足分别为点 $E,F$,求证:四边形 $AECF$ 是矩形.

答案： 5.证明：
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴$∠ACE = ∠BCE = \frac{1}{2}∠ACB，$$∠ACF = \frac{1}{2}∠ACD.$
∵∠ACB + ∠ACD = 180°，
∴$∠ACE + ∠ACF = \frac{1}{2}(∠ACB + ∠ACD) = 90°，$即∠ECF = 90°.又
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC = ∠AFC = 90°，
∴四边形AECF是矩形.