《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

5. 如图，$AC$ 为矩形 $ABCD$ 的对角线，将边 $AB$ 沿 $AE$ 折叠，使点 $B$ 落在 $AC$ 上的点 $M$ 处，将边 $CD$ 沿 $CF$ 折叠，使点 $D$ 落在 $AC$ 上的点 $N$ 处。
（1）求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形。
（2）若 $AB = 6$，$AC = 10$，求四边形 $AECF$ 的面积。

答案： 5.
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B = ∠D = 90°。由折叠的性质，得AM = AB，CN = CD，∠FNC = ∠D = 90°，∠AME = ∠B = 90°，
∴∠ANF = 90°，∠CME = 90°。
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB = CD，AD//BC，
∴∠FAN =
∠ECM，AM = CN，
∴AM - MN = CN - MN，即AN = CM。
∴△ANF≌△CME(ASA)，
∴AF = CE。又
∵AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形。
(2)解：
∵AB = 6，AC = 10，
∴由勾股定理，得BC = 8。设CE = x，则EM = BE = 8 - x，CM = 10 - 6 = 4。在Rt△CEM中，由勾股定理，得$(8 - x)^2 + 4^2 = x^2，$解得x = 5。
∴四边形AECF的面积为CE·AB = 5×6 = 30。