《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

5. 如图，菱形 $ABCD$ 的两条对角线长分别为 $6$ 和 $8$，$M$，$N$ 分别是边 $BC$，$CD$ 的中点，$P$ 是对角线 $BD$ 上一点，则 $PM + PN$ 的最小值为5。

答案： 5.5

6. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，对角线 $BD$ 的垂直平分线与边 $AD$，$BC$ 分别相交于点 $M$，$N$，连接 $BM$，$DN$。
(1) 求证：四边形 $BNDM$ 是菱形。
(2) 若四边形 $BNDM$ 的周长为 $52$，$MN = 10$，求 $BD$ 的长。

答案： 6.
(1)证明：
∵AD//BC,
∴∠DMO=∠BNO.
∵直线MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB=OD,MN⊥BD.在△MOD和△NOB中$,\begin{cases} ∠DMO = ∠BNO, \\ ∠MOD = ∠NOB, \\ OD = OB, \end{cases}$
∴△MOD≌△NOB(AAS),
∴OM=ON.
∵OB=OD,
∴四边形BNDM是平行四边形.
∵MN⊥BD,
∴四边形BNDM是菱形.
(2)解：
∵菱形BNDM的周长为52,
∴BN=ND=DM=MB=13.又
∵MN=10,
∴$OM=ON=\frac{1}{2}MN=5.$在Rt△BOM中，由勾股定理，得$OB=\sqrt{BM^{2}-OM^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12,$
∴BD=2OB=2×12=24.