《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

20. (8 分)如图,方格纸中小正方形的边长均为 1 个单位长度,$ A $,$ B $ 均为格点.
(1)在图中建立直角坐标系,使点 $ A $,$ B $ 的坐标分别为 $ (3,3) $ 和 $ (-1,0) $；
(2)在(1)中的 $ x $ 轴上是否存在点 $ C $,使 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形(其中 $ AB $ 为腰)？若存在,请直接写出所有满足条件的点 $ C $ 的坐标.

答案：
(1) 建立直角坐标系，原点为方格纸中某一格点，x轴为水平直线，y轴为竖直直线，使得点A(3,3)和点B(-1,0)位置符合要求（图略）。
(2) 存在。
① 当AB=BC时，设C(c,0)，|c - (-1)|=5，解得c=4或c=-6，即C(4,0)或(-6,0)；
② 当AB=AC时，设C(c,0)，√[(c-3)²+(0-3)²]=5，解得c=7或c=-1（c=-1与B重合，舍去），即C(7,0)。
综上，点C的坐标为(-6,0)，(4,0)，(7,0)。

21. (8 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90° $,$ AC = \sqrt{20} $,斜边 $ AB $ 在 $ x $ 轴上,点 $ C $ 在 $ y $ 轴的正半轴上,点 $ A $ 的坐标为 $ (2,0) $. 求 $ B $,$ C $ 两点的坐标.

答案： 设点$ B $的坐标为$ (b,0) $，点$ C $的坐标为$ (0,c) $（$ c＞0 $）。
1. 求点$ C $的坐标：
点$ A(2,0) $，点$ C(0,c) $，由$ AC = \sqrt{20} $及距离公式得：
$ \sqrt{(2-0)^2 + (0 - c)^2} = \sqrt{20} $
平方化简：$ 4 + c^2 = 20 $，解得$ c^2 = 16 $，$ c = 4 $（$ c＞0 $）。
故$ C(0,4) $。
2. 求点$ B $的坐标：
点$ B(b,0) $，点$ C(0,4) $，由$ \angle ACB = 90° $及勾股定理$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $得：
$ AC^2 = 20 $，$ BC^2 = b^2 + 4^2 = b^2 + 16 $，$ AB^2 = (2 - b)^2 $。
代入勾股定理：$ 20 + (b^2 + 16) = (2 - b)^2 $
化简：$ b^2 + 36 = b^2 - 4b + 4 $，解得$ -4b = 32 $，$ b = -8 $。
故$ B(-8,0) $。
结论：$ B(-8,0) $，$ C(0,4) $。