《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

24. (16 分)三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为三角形的外角.已知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
如图 1,∠DBC 与∠ECB 分别为△ABC 的两个外角,那么∠A 与∠DBC + ∠ECB 之间存在怎样的数量关系？为什么？

初步应用：
(1)如图 2,在三角形纸片 ABC 中剪去△CED,得到四边形 ABDE,已知∠1 = 130°,则∠2 - ∠C = ______.
(2)如图 3,在△ABC 中,已知 BP,CP 分别平分外角∠DBC 和∠ECB,请问：∠P 与∠A 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案.

拓展提升：
如图 4,在四边形 ABCD 中,BP,CP 分别平分∠EBC,∠FCB,请问：∠P 与∠A,∠D 有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明,可直接使用,不需说明理由)

尝试探究：
∠DBC + ∠ECB = ∠A + 180°。
理由：
∵∠DBC是△ABC的外角，∴∠DBC = ∠A + ∠ACB。
∵∠ECB是△ABC的外角，∴∠ECB = ∠A + ∠ABC。
∴∠DBC + ∠ECB = (∠A + ∠ACB) + (∠A + ∠ABC) = 2∠A + (∠ABC + ∠ACB)。
∵在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
∴∠DBC + ∠ECB = 2∠A + (180° - ∠A) = ∠A + 180°。
初步应用：
(1)50°
(2)∠P = 90° - 1/2∠A
拓展提升：
∠P = 180° - 1/2(∠A + ∠D)。
理由：
∵∠EBC是∠ABC的外角，∴∠EBC = 180° - ∠ABC。
∵∠FCB是∠BCD的外角，∴∠FCB = 180° - ∠BCD。
∴∠EBC + ∠FCB = (180° - ∠ABC) + (180° - ∠BCD) = 360° - (∠ABC + ∠BCD)。
∵四边形ABCD内角和为360°，∴∠ABC + ∠BCD = 360° - (∠A + ∠D)。
∴∠EBC + ∠FCB = 360° - [360° - (∠A + ∠D)] = ∠A + ∠D。
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠PBC = 1/2∠EBC，∠PCB = 1/2∠FCB。
在△PBC中，∠P = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - 1/2(∠EBC + ∠FCB) = 180° - 1/2(∠A + ∠D)。

答案： 尝试探究：
∠DBC + ∠ECB = ∠A + 180°。
理由：
∵∠DBC是△ABC的外角，
∴∠DBC = ∠A + ∠ACB。
∵∠ECB是△ABC的外角，
∴∠ECB = ∠A + ∠ABC。
∴∠DBC + ∠ECB = (∠A + ∠ACB) + (∠A + ∠ABC) = 2∠A + (∠ABC + ∠ACB)。
∵在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
∴∠DBC + ∠ECB = 2∠A + (180° - ∠A) = ∠A + 180°。
初步应用：
（1）50°。
（2）∠P = 90° - 1/2∠A。
拓展提升：
∠P = 180° - 1/2(∠A + ∠D)。
理由：
∵∠EBC是∠ABC的外角，
∴∠EBC = 180° - ∠ABC。
∵∠FCB是∠BCD的外角，
∴∠FCB = 180° - ∠BCD。
∴∠EBC + ∠FCB = (180° - ∠ABC) + (180° - ∠BCD) = 360° - (∠ABC + ∠BCD)。
∵四边形ABCD内角和为360°，
∴∠ABC + ∠BCD = 360° - (∠A + ∠D)。
∴∠EBC + ∠FCB = 360° - [360° - (∠A + ∠D)] = ∠A + ∠D。
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠PBC = 1/2∠EBC，∠PCB = 1/2∠FCB。
在△PBC中，∠P = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - 1/2(∠EBC + ∠FCB) = 180° - 1/2(∠A + ∠D)。