《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

22. (12 分)为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度,某小区进行小范围绿化,要在一块如图所示的$\triangle ABC$地块内进行绿化改造,点$D为\triangle ABC$内一点,$\angle ADC = 90^{\circ}$,$CD = 3$ m,$AD = 4$ m,$BC = 12$ m,$AB = 13$ m.
(1)若将原来的$AC$路段由水泥路改造成一条鹅卵石路,改造成本为每米 80 元,请问改造此路需要花费多少元？
(2)若需要在阴影部分区域种植草皮,种植草皮的费用是每平方米 100 元,那么在阴影部分区域种植草皮共需投入多少元？

答案：
(1)在$Rt\triangle ADC$中，由勾股定理得$AC = \sqrt{AD^{2} + CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$（m），
改造此路的费用为$80×5 = 400$（元）。
(2)在$\triangle ABC$中，$AC = 5$m，$BC = 12$m，$AB = 13$m，
因为$AC^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，$AB^{2}=13^{2}=169$，
所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，可得$\angle ACB = 90^{\circ}$，
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12 = 30$（$m^{2}$），
$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3 = 6$（$m^{2}$），
$S_{阴影}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADC}=30 - 6 = 24$（$m^{2}$），
种植草皮的费用为$100×24 = 2400$（元）。
综上，
(1)改造此路需要花费400元；
(2)在阴影部分区域种植草皮共需投入2400元。