《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

22.(12分)在课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题：
如图 1,在 $ \triangle ABC $ 中,若 $ AB = 8 $,$ AC = 6 $,求 $ BC $ 边上的中线 $ AD $ 的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法：延长 $ AD $ 到点 $ E $,使 $ DE = AD $,连接 $ BE $.请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到 $ \triangle ADC \cong \triangle EDB $ 的理由是______.(B)
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. HL
(2)求得 $ AD $ 的取值范围是______.(C)
A. $ 6 ＜ AD ＜ 8 $
B. $ 6 \leq AD \leq 8 $
C. $ 1 ＜ AD ＜ 7 $
D. $ 1 \leq AD \leq 7 $
(3)如图 2,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线,$ BE $ 交 $ AC $ 于点 $ E $,交 $ AD $ 于点 $ F $,且 $ AE = EF $.求证：$ AC = BF $.
证明：延长$AD$到点$G$，使$DG = AD$，连接$BG$。
因为$AD$是$BC$中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle ADC$和$\triangle GDB$中，
$AD = DG$，$\angle ADC=\angle GDB$，$BD = CD$，所以$\triangle ADC\cong\triangle GDB(SAS)$。
则$BG = AC$，$\angle CAD=\angle G$。
因为$AE = EF$，所以$\angle CAD=\angle AFE$。
又因为$\angle AFE=\angle BFD$，所以$\angle BFD=\angle G$。
所以$BF = BG$，所以$AC = BF$。

答案：
(1)
在$\triangle ADC$和$\triangle EDB$中，
$AD = DE$（作图），$\angle ADC=\angle EDB$（对顶角相等），$BD = CD$（$D$为$BC$中点）
所以$\triangle ADC\cong\triangle EDB(SAS)$，答案选B。
(2)
因为$\triangle ADC\cong\triangle EDB$，所以$BE = AC = 6$。
在$\triangle ABE$中，$AB = 8$，根据三角形三边关系：$AB - BE\lt AE\lt AB + BE$，即$8 - 6\lt 2AD\lt 8 + 6$，$2\lt 2AD\lt 14$，$1\lt AD\lt 7$，答案选C。
(3)
证明：延长$AD$到点$G$，使$DG = AD$，连接$BG$。
因为$AD$是$BC$中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle ADC$和$\triangle GDB$中，
$AD = DG$，$\angle ADC=\angle GDB$，$BD = CD$，所以$\triangle ADC\cong\triangle GDB(SAS)$。
则$BG = AC$，$\angle CAD=\angle G$。
因为$AE = EF$，所以$\angle CAD=\angle AFE$。
又因为$\angle AFE=\angle BFD$，所以$\angle BFD=\angle G$。
所以$BF = BG$，所以$AC = BF$。