《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

22. (10 分)如图,已知 $ \triangle ABC $ 的周长是 $ 20 $,$ BO $,$ CO $ 分别平分 $ \angle ABC $ 和 $ \angle ACB $,$ BO $,$ CO $ 相交于点 $ O $,$ OD \perp BC $ 于点 $ D $,且 $ OD = 3 $,求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案： 作$OE \perp AB$于点$E$，作$OF \perp AC$于点$F$，连接$OA$。
因为$BO$平分$\angle ABC$，$OD \perp BC$，$OE \perp AB$，
根据角平分线的性质可得$OE = OD = 3$。
同理，因为$CO$平分$\angle ACB$，$OD \perp BC$，$OF \perp AC$，
所以$OF = OD = 3$。
$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OAC}$。
其中$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}AB\cdot OE$，$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}BC\cdot OD$，$S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}AC\cdot OF$。
又因为$OE = OF = OD = 3$，
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(AB + BC + AC)\cdot3$。
已知$\triangle ABC$的周长$AB + BC + AC = 20$，
则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×20×3 = 30$。
故$\triangle ABC$的面积是$30$。