《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

23. (12 分)已知当 $ m $,$ n $ 都是实数,且满足 $ 2m = 8 + n $ 时,称 $ P(m - 1,\frac{n + 2}{2}) $ 为“开心点”. 例如点 $ A(5,3) $ 为“开心点”. 理由如下：令 $ m - 1 = 5 $,$ \frac{n + 2}{2} = 3 $,解得 $ m = 6 $,$ n = 4 $,所以 $ 2m = 2 × 6 = 12 $,$ 8 + n = 8 + 4 = 12 $,所以 $ 2m = 8 + n $. 所以点 $ A(5,3) $ 是“开心点”.
(1)判断点 $ B(4,10) $ 是否为“开心点”,并说明理由.
(2)若点 $ M(a,2a - 1) $ 是“开心点”,请判断点 $ M $ 在第几象限？并说明理由.

答案：
(1) 假设点 $B(4,10)$ 是“开心点”。
令 $m - 1 = 4$，$\frac{n + 2}{2} = 10$，
解得$m = 5$，$n = 18$，
则 $2m = 2 × 5 = 10$，$8 + n = 8 + 18 = 26$，
由于 $10 \neq 26$，即 $2m \neq 8 + n$，
所以点 $B(4,10)$ 不是“开心点”。
(2)
由于点 $M(a,2a - 1)$ 是“开心点”，
令 $m - 1 = a$，$\frac{n + 2}{2} = 2a - 1$，
解得$m = a + 1$，$n = 4a - 4$，
由 $2m = 8 + n$，代入 $m$ 和 $n$ 的表达式，得$2(a + 1) = 8 + (4a - 4)$，
化简得$2a + 2 = 4 + 4a$，
进一步化简得$2a = -2$，
解得$a = -1$，
则 $2a - 1 = -2 - 1 = -3$，
所以点 $M$ 的坐标为 $(-1, -3)$，在第三象限。
综上，点$M$在第三象限。