《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

20. (8 分)如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = BC,延长 AB 至点 D,使 DB = AB,连接 CD,以 CD 为直角边作等腰直角△CDE,其中∠DCE = 90°,连接 BE.
(1)若 AB = 3 cm,求 BE 的长；
(2)判断 BE 与 AD 的位置关系,并说明理由.

答案：
(1)
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°．
∵DB=AB，AB=3cm，
∴AD=AB+BD=3+3=6cm．
∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∴CD=CE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ACD=∠BCE\\ CD=CE\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE=AD=6cm．
(2) BE⊥AD．理由如下：
由
(1)知△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD．
∵∠CAD=∠CAB=45°(A、B、D共线)，
∴∠CBE=45°．
∵∠CBA=45°，
∴∠ABE=∠CBA+∠CBE=45°+45°=90°，
∴BE⊥AD．

21. (8 分)如图,已知△ABC 和△ADE,AB = AD,∠BAD = ∠CAE,∠B = ∠D,AD 与 BC 交于点 P,点 C 在 DE 上.
(1)求证：BC = DE.
(2)若∠B = 30°,∠APC = 70°,
① 求∠E 的度数.② 求证：CP = CE.

答案：
(1)证明：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，AB=AD，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
∴BC=DE。
(2)①
∵∠APC=70°，∠B=30°，∠APC是△ABP的外角，
∴∠BAP=∠APC-∠B=70°-30°=40°，即∠BAD=40°。
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE=40°。
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B=30°，AC=AE。在△DPC中，∠DPC=180°-∠APC=110°，
∴∠PCD=180°-∠D-∠DPC=180°-30°-110°=40°。
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠E。又
∵∠ACE=∠PCD=40°，
∴∠E=40°。
②证明：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB=∠E=40°。
∵点P在BC上，
∴∠PCE=∠ACB=40°。
∴∠PCE=∠E，
∴CP=CE。