《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

24. (12 分)已知,如图 1,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点 A,D,E 在同一直线上,连接 BE.
(1) 求证:AD = BE.
(2) 求∠AEB 的度数.
(3) 拓展探究:如图 2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB = ∠DCE = 90°,点 A,D,E 在同一直线上,CM 为△DCE 中 DE 边上的高,连接 BE.
① ∠AEB 的度数为90°;
② 探索线段 CM,AE,BE 之间的数量关系为AE=BE+2CM. (直接写出答案,不需要说明理由)

答案：
(1) 证明：
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB - ∠DCB=∠DCE - ∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ACD=∠BCE\\ DC=EC\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
(2)
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180° - ∠CDE=180° - 60°=120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC=120°，
∴∠AEB=∠BEC - ∠CED=120° - 60°=60°；
(3) ①90；②AE=BE + 2CM。