《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

22. (8 分)如图,在学习了尺规作角平分线知识后,小明尝试用以下方法作∠MON 的平分线：
① 以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,交 OM,ON 于 A,B 两点；② 以点 O 为圆心,不等于 OA 的长度为半径画弧,交 OM,ON 于 C,D 两点；③ 连接 AD,BC 交于点 P,作射线 OP,射线 OP 即是∠MON 的平分线.
小明的作图步骤正确吗？若正确,请作图证明；若不正确,请说明理由.

答案： 小明的作图步骤正确。
证明：
1. 由步骤①，OA=OB（同圆半径相等）；由步骤②，OC=OD（同圆半径相等）。
2. 在△AOD和△BOC中，

∵OA=OB，∠AOD=∠BOC（公共角），OD=OC，

∴△AOD≌△BOC（SAS）。

∴∠OAD=∠OBC（全等三角形对应角相等）。
3.
∵OA=OB，OC=OD，
∴OA-OC=OB-OD（或OC-OA=OD-OB），即AC=BD。
4. 在△ACP和△BDP中，

∵∠PAC=∠PBD（已证∠OAD=∠OBC），∠APC=∠BPD（对顶角相等），AC=BD，

∴△ACP≌△BDP（AAS）。

∴PC=PD（全等三角形对应边相等）。
5. 在△OCP和△ODP中，

∵OC=OD，PC=PD，OP=OP（公共边），

∴△OCP≌△ODP（SSS）。

∴∠COP=∠DOP（全等三角形对应角相等）。
即OP平分∠MON，故小明的步骤正确。

23. (8 分)如图,AB = AC,D,A,E 三点都在直线 m 上,并且∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α,其中 α 为任意锐角或钝角.请问：结论 DE = BD + CE 是否成立？如果成立,请说明理由.

答案： 成立。理由如下：
∵D、A、E共线，∠BAC=α，
∴∠DAB+∠CAE=180°-α。
在△ABD中，∠BDA=α，
∴∠ABD+∠DAB=180°-∠BDA=180°-α（三角形内角和180°）。
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE。
在△ABD和△CAE中，
∠BDA=∠AEC=α，
∠ABD=∠CAE，
AB=AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS）。
∴AD=CE，BD=AE（全等三角形对应边相等）。
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，即DE=BD+CE。
结论成立。