《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

23. (12 分)已知在 $ \triangle ABC $ 中,$ BD $,$ CE $ 是高,在 $ BD $,$ CE $ 或其延长线上分别截取 $ BM = AC $,$ CN = AB $. 求证：$ MA \perp NA $.

答案： 证明：
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°。
在Rt△ABD和Rt△ACE中，∠BAD=∠CAE（公共角），
∴∠ABD=∠ACE（直角三角形两锐角互余），即∠ABM=∠NCA。
在△ABM和△NCA中，
$\begin{cases} AB=CN（已知）, \\∠ABM=∠NCA（已证）, \\BM=CA（已知）, \end{cases}$
∴△ABM≌△NCA（SAS）。
∴∠BAM=∠CNA（全等三角形对应角相等）。
在Rt△ANE中，∠AEN=90°，
∴∠CNA+∠NAE=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠BAM=∠CNA，
∴∠BAM+∠NAE=90°，即∠MAN=90°。
∴MA⊥NA。