《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

23. (10 分)如图,在等边△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BC 延长线上一点,CE = CD,DM⊥BC,垂足为点 M.求证:M 是 BE 的中点.

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，BC=AC。
∵D是AC中点，设BC=2a，则CD=AC/2=BC/2=a。
∵CE=CD，
∴CE=a，
∴BE=BC+CE=2a+a=3a。
∵DM⊥BC，
∴∠DMC=90°，
在Rt△DMC中，∠DCM=∠ACB=60°，
∴∠CDM=90°-60°=30°，
∴MC=CD/2=a/2（直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半）。
∴BM=BC-MC=2a - a/2=3a/2，
ME=MC+CE=a/2 + a=3a/2，
∴BM=ME，
即M是BE的中点。