《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

23. (14 分)如图,在等边三角形 $ ABC $ 中,点 $ D $,$ E $ 分别在边 $ BC $,$ AC $ 上,且 $ DE // AB $,过点 $ E $ 作 $ EF \perp DE $,交 $ BC $ 的延长线于点 $ F $.
(1)求 $ \angle F $ 的度数；
(2)若 $ CD = 2 $,求 $ DF $ 的长.

答案：
(1)因为$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$\angle B = 60^{\circ}$。
因为$DE// AB$，
所以$\angle EDC = \angle B = 60^{\circ}$。
因为$EF\bot DE$，
所以在$Rt\triangle DEF$中，$\angle F = 90^{\circ} - \angle EDC = 30^{\circ}$。
(2)因为$\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle EDC = 60^{\circ}$，
所以$\triangle EDC$是等边三角形。
所以$ED = DC = 2$。
在$Rt\triangle DEF$中，
因为$\angle F = 30^{\circ}$，
所以$DF = 2DE = 4$。