《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

18. (6 分)如图,供电所李师傅要安装电线杆,按要求,电线杆要与地面垂直. 他从离地面 6 m 的 $C$ 处向地面拉一条长 6.5 m 的钢绳,现测得地面钢绳固定点 $A$ 到电线杆底部 $B$ 的距离为 2.5 m. 问：李师傅的安装方法是否符合要求？请说明理由.

答案： 符合要求。理由如下：
在△ABC中，BC=6m，AC=6.5m，AB=2.5m。
计算得：AB² + BC² = (2.5)² + 6² = 6.25 + 36 = 42.25，AC² = (6.5)² = 42.25。
因为AB² + BC² = AC²，所以△ABC是直角三角形，∠ABC=90°。
即电线杆与地面垂直，符合要求。

19. (6 分)葛藤是一种“聪明”的植物,为了争夺雨露阳光,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手“绝招”,就是总能沿最短路线绕树盘升,难道植物也懂数学？
通过阅读以上信息,解决下列问题.
(1)如果树干的周长(即图中圆柱体的底面周长)为 30 cm,绕一圈升高(即圆柱的高)40 cm,则它爬行一圈的路程是多少？
(2)如果树干的周长为 80 cm,绕一圈爬行 100 cm,它爬行 10 圈到达树顶,则树干高多少？

答案：
(1)
将树干展开得到一个长方形，树干周长为长方形的长$30\mathrm{cm}$，绕一圈升高的高度为长方形的宽$40\mathrm{cm}$。
葛藤爬行一圈的最短路线为展开图中长方形的对角线长度，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a = 30\mathrm{cm}$，$b = 40\mathrm{cm}$），则$c=\sqrt{30^{2}+40^{2}}=\sqrt{900 + 1600}=\sqrt{2500}=50\mathrm{cm}$。
(2)
同样将树干展开成长方形，树干周长为长方形的长$80\mathrm{cm}$，葛藤绕一圈爬行$100\mathrm{cm}$，即展开图中对角线长度为$100\mathrm{cm}$。
设绕一圈升高的高度为$x\mathrm{cm}$，根据勾股定理可得$x=\sqrt{100^{2}-80^{2}}=\sqrt{10000 - 6400}=\sqrt{3600}=60\mathrm{cm}$。
因为爬行$10$圈到达树顶，所以树干高为$60×10 = 600\mathrm{cm}$。
答：
(1)它爬行一圈的路程是$50\mathrm{cm}$；
(2)树干高$600\mathrm{cm}$。