《2025年同步练习册配套检测卷七年级数学上册鲁教版五四制》

25. (12 分)如图,已知 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$. 请完成以下任务.
(1)尺规作图：① 作 $\angle A$ 的平分线,交 $CB$ 于点 $D$；
② 过点 $D$ 作 $AB$ 的垂线,垂足为点 $E$.(请保留作图痕迹,不写作法,并标明字母)
(2)若 $AC = 3$,$BC = 4$,求 $CD$ 的长.

答案：
(1) （作图痕迹略，需标明点D、E）
(2) 设CD = x，
∵AD平分∠CAB，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=x。
在Rt△ABC中，AB = √(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5。
∵△ACD≌△AED（HL），
∴AE=AC=3，
∴EB=AB-AE=5-3=2。
DB=BC-CD=4-x，在Rt△DEB中，DE²+EB²=DB²，即x²+2²=(4-x)²，
解得x=3/2。
CD的长为3/2。