《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

3. 已知一次函数$y = 3x - 5与y = 2x + b的图象的交点坐标为点P(1,-2)$,求方程组$\begin{cases}y = 3x - 5, \\ y = 2x + b\end{cases} 的解和b$的值.

答案： 方程组的解是$\begin{cases} x = 1, \\ y = -2, \end{cases}$ b = -4.

4. 如图$2$ - 7所示,在$\triangle ABC$中,$CD\perp AB于点D$,$AC = 20$,$BC = 15$,$BD = 9$.
(1)求$CD$的长；
(2)求$S_{\triangle ABC}$；
(3)判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 1. （1）求$CD$的长：
解：在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$CD^{2}+BD^{2}=BC^{2}$。
已知$BC = 15$，$BD = 9$，则$CD=\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}$。
把$BC = 15$，$BD = 9$代入可得：$CD=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{(15 + 9)(15 - 9)}=\sqrt{24×6}=\sqrt{144}=12$。
2. （2）求$S_{\triangle ABC}$：
解：在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$。
已知$AC = 20$，$CD = 12$，则$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=\sqrt{(20 + 12)(20 - 12)}=\sqrt{32×8}=\sqrt{256}=16$。
所以$AB=AD + BD=16 + 9=25$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD$。
把$AB = 25$，$CD = 12$代入可得：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×25×12 = 150$。
3. （3）判断$\triangle ABC$的形状：
解：因为$AC = 20$，$BC = 15$，$AB = 25$。
且$AC^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=400 + 225=625$，$AB^{2}=25^{2}=625$。
所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABC$是直角三角形。
综上，（1）$CD$的长为$12$；（2）$S_{\triangle ABC}=150$；（3）$\triangle ABC$是直角三角形。

5. 如图2 - 8所示,$AB// CD$,$AB = CD$,点$E$,$F在BC$上,且$BE = CF$.
求证：四边形$AFDE$是平行四边形.

答案： 证明：
∵AB // CD，
∴∠B = ∠C.
∵在△ABE 与△DCF 中，
$\begin{cases} AB = CD, \\ \angle B = \angle C, \\ BE = CF. \end{cases}$
∴△ABE ≌ △DCF（SAS）.
∴AE = DF，∠AEB = ∠DFC.
∴∠AEF = ∠DFE.
∴AE // DF.
∴四边形 AFDE 是平行四边形.