《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

6. 对平面上任意一点$(a,b)$,若定义：$f(a,b) = (-a,b)$,$g(m,n) = (m,-n)$,例如$f(1,2) = (-1,2)$,$g(-4,-5) = (-4,5)$,则$g[f(2,-3)] = $(B)
A.$(2,-3)$
B.$(-2,3)$
C.$(2,3)$
D.$(-2,-3)$

答案： B

1. 生物小组观察一植物生长,得到植物高度$y$(单位：厘米)与观察时间$x$(单位：天)的关系,并画出如图2 - 5所示的图象($AC$是线段,$CD平行于x$轴).
(1)该植物从观察时起,多少天以后停止长高？
(2)求线段$AC$的表达式,并求该植物最高长多少厘米.

答案： 解：（1）因为 CD // x 轴，
所以从第 50 天开始植物的高度不变.
即该植物从观察时起，50 天以后停止长高；
（2）设线段 AC 的表达式为 y = kx + b（k ≠ 0），
∵线段 AC 经过点 A（0，6），B（30，12），
∴$\begin{cases} b = 6, \\ 30k + b = 12, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = \frac{1}{5}, \\ b = 6. \end{cases}$
∴线段 AC 的表达式为 y = $\frac{1}{5}$x + 6（0 ≤ x ≤ 50）.
当 x = 50 时，y = $\frac{1}{5}$×50 + 6 = 16（厘米）.
即线段 AC 的表达式为 y = $\frac{1}{5}$x + 6（0 ≤ x ≤ 50），
该植物最高长 16 厘米.

2. 如图2 - 6所示,在矩形$ABCD$中,$E$,$F分别是边AB$,$CD$上的点,$AE = CF$,连接$EF$,$BF$,$EF与对角线AC交于点O$,且$BE = BF$,$\angle BEF = 2\angle BAC$.
(1)求证：$OE = OF$；
(2)若$BC = 2\sqrt{3}$,求$AB$的长.

答案： （1）证明：在矩形 ABCD 中，AB // CD，
∴∠EAO = ∠FCO.
在△AOE 和△COF 中，
$\begin{cases} \angle EAO = \angle FCO, \\ \angle AOE = \angle COF, \\ AE = CF. \end{cases}$
∴△AOE ≌ △COF（AAS）.
∴OE = OF；
（2）解：连接 OB，
∵BE = BF，OE = OF，
∴BO ⊥ EF.
由题意可知 OA = OB = OC.
∴∠BAC = ∠ABO.
又
∵∠BEF = 2∠BAC，
∴在 Rt△BEO 中，
∠BEF + ∠ABO = 90°. 即 2∠BAC + ∠BAC = 90°，
∴∠BAC = 30°.
∵BC = 2$\sqrt{3}$，
∴AC = 2BC = 4$\sqrt{3}$.
∴AB = $\sqrt{AC^2 - BC^2}$ = 6.