《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

1. 已知 $ a = \sqrt { 2 } - 1 $,求 $ \frac { a ^ { 3 } - 4 a } { a - 1 } ÷ \left( 2 - \frac { a } { a - 1 } \right) $ 的值.

答案： 解：原式$ =a(a + 2) $.当$ a = \sqrt{2}-1 $时，原式=1.

2. 如图 9 - 6 所示,$ E $ 是正方形 $ A B C D $ 的边 $ B C $ 上任意一点,$ F G \perp A E $ 交 $ A B $,$ C D $ 于点 $ F $,$ G $,求证：$ A E = F G $.

答案： 证明：过G作$ GM // AD $交AB于点M，
∴在正方形ABCD中，$ AB = GM $，$ \angle B = \angle GMF = 90° $，$ \angle BAE = 90°-\angle AFG = \angle FGM $.
∴$ \triangle ABE \cong \triangle GMF $（ASA）.
∴$ AE = FG $.

3. 某校为了使学生们都能参加到“大课间”活动中来,计划购买篮球、排球共 $ 60 $ 个,跳绳 $ 120 $ 根.已知一个篮球 $ 70 $ 元,一个排球 $ 50 $ 元,一根跳绳 $ 10 $ 元.设购买篮球 $ x $ 个,购买篮球、排球和跳绳的总费用为 $ y $ 元.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(2)若购买上述体育用品的总费用为 $ 4700 $ 元,则篮球、排球各买了多少个？

答案： （1）由题意得，$ y = 70x + 50(60 - x)+10×120 $$ = 20x + 4200 $，
∴y与x之间的函数关系式为$ y = 20x + 4200 $；（2）当$ y = 4700 $时，$ 4700 = 20x + 4200 $，解得$ x = 25 $. $ 60 - 25 = 35 $（个），
∴篮球买了25个，排球买了35个.