《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

1. 先化简,再求值：$ (x + 1)^2 - 2x + 1 $,其中 $ x = \sqrt{2} $。

答案： 解：原式=x²+2. 当x=$\sqrt{2}$时，原式=4.

2. 如图 $ 11 - 9 $ 所示,在 $ □ ABCD $ 中,点 $ E $ 在边 $ BC $ 上,点 $ F $ 在 $ BC $ 的延长线上,且 $ BE = CF $。求证：$ \angle BAE = \angle CDF $。

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB//DC.
∴∠B=∠DCF. 在△ABE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DC,\\ ∠B=∠DCF,\\ BE=CF,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DCF（SAS）.
∴∠BAE=∠CDF.

3. 如图 $ 11 - 10 $ 所示,在正方形 $ ABCD $ 中,$ M $,$ N $ 是对角线 $ BD $ 上的两点,且 $ BM = DN $,那么四边形 $ AMCN $ 是菱形吗？试说明理由。

答案： 解：四边形AMCN是菱形. 理由：连接AC，与BD交于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD.
∵BM=DN，
∴OM=ON.
∴四边形AMCN是平行四边形. 又
∵AC⊥BD，
∴四边形AMCN是菱形.