《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

4. 快、慢两车分别从相距 $360\,km$ 的甲、乙两地同时出发,匀速行驶,先相向而行,快车到达乙地后,停留 $1\,h$,然后按原路原速返回,快车比慢车晚 $1\,h$ 到达甲地,快、慢两车距各自出发地的路程 $y$($km$)与出发后所用的时间 $x$($h$)的关系如图 $12 - 12$ 所示。
请结合图象信息解答下列问题：
(1) 快、慢两车的速度各是多少？
(2) 出发多少小时,快、慢两车距各自出发地的路程相等？
(3) 直接写出在慢车到达甲地前,快、慢两车相距的路程为 $150\,km$ 的次数。

答案： 解：（1）由题意得：快车一共行驶了 6 小时，慢车一共行驶了 6 小时. $\because$两地相距 360 km，$\therefore$快车速度为：$360 × 2 ÷ 6 = 120$（km/h）. 慢车速度为：$360 ÷ 6 = 60$（km/h）；（2）$\because$快车速度为 120 km/h，$\therefore 360 ÷ 120 = 3$（h）. $\therefore$点 A 的坐标为（3，360）. $\therefore$点 B 的坐标为（4，360）. 可得点 E 的坐标为（6，360），点 D 的坐标为（7，0），设 BD 的关系式为：$y = kx + b$，$\begin{cases} 4k + b = 360, \\ 7k + b = 0, \end{cases}$解得：$\begin{cases} k = -120, \\ b = 840. \end{cases}$ $\therefore BD$的关系式为：$y = -120x + 840$. 设 OE 的关系式为：$y = ax$，$\therefore 360 = 6a$. 解得：$a = 60$. $\therefore OE$的关系式为：$y = 60x$. 当快、慢两车距各自出发地的路程相等时：$60x = -120x + 840$，解得：$x = \frac{14}{3}$. 答：出发$\frac{14}{3}$小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等；（3）3 次.

5. 如图 $12 - 13$ 所示,在四边形 $ABCD$ 中,$AB // DC$,点 $E$ 是 $BC$ 的中点,$AE$,$DC$ 的延长线相交于点 $F$,连接 $AC$,$BF$。
(1) 求证：$AB = CF$；
(2) 四边形 $ABFC$ 是什么四边形？请说明你的理由。

答案： （1）证明：$\because E$是 BC 的中点，$\therefore CE = BE$. 又$\because CF // AB$，$\therefore \angle FCB = \angle ABC$. 又$\angle CEF = \angle BEA$，$\therefore \triangle CEF \cong \triangle BEA$（ASA）. $\therefore CF = BA$. 即$AB = CF$；（2）解：四边形 ABFC 是平行四边形. 理由：由（1）得$AB = CF$. 又$\because AB // CD$，即$AB // CF$. $\therefore$四边形 ABFC 是平行四边形.