《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

4. 如图13 - 9所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD是\triangle ABC$外角的平分线,$\angle BAC = \angle ACD$,$\angle B = 60°$,求证：四边形$ABCD$是菱形。

答案： 证明：
∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形.
∴∠ACB=60°，∠FAC=120°.
又
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD=∠DAC=60°.
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD//BC.
∵∠BAC=∠ACD，
∴AB//CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又
∵△ABC是等边三角形.
∴AB=BC.
∴四边形 ABCD 是菱形.

5. 在公路改建工程中,某路段长$4000$米,由甲、乙两个工程队拟在$30$天内(含$30$天)一起完成,已知两个工程队各有$10$名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与此工程,甲工程队每人每天的工作量相同,乙工程队每人每天的工作量相同),甲工程队$1$天、乙工程队$2天共修路200$米；甲工程队$2$天、乙工程队$3天共修路350$米。
(1) 甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？
(2) 甲、乙两个工程队施工$10$天后,由于工作需要需从甲队抽调$m$人去学习新技术,总部要求在规定时间内完成,甲队可以抽调多少人？
(3) 已知甲工程队每天的施工费用为$0.6$万元,乙工程队每天的施工费用为$0.35$万元,要使该工程的施工费用最低,甲、乙两队需各修多少天？最低费用为多少万元？

答案：
(1) 设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米，
依题意得，{x+2y=200, 2x+3y=350.}解得{x=100, y=50.}
∴甲工程队每天修路 100 米，乙工程队每天修路50 米；
(2) 依题意得，30-10=20（天），
10×100+20×(10-m)/10×100+30×50≥4000，
解得m≤5/2.
∵0 ＜ m≤10，
∴0 ＜ m≤5/2.
∵m为正整数，
∴m=1或2.
∴甲队可以抽调1人或2人；
(3) 设甲工程队修a天，乙工程队修b天，
依题意得，100a+50b=4000，
∴b=80-2a.
∵0≤b≤30.
∴0≤80-2a≤30，
解得25≤a≤40.
又
∵0≤a≤30，
∴25≤a≤30.
设总费用为W元，依题意得，
W=0.6a+0.35b=0.6a+0.35(80-2a)=-0.1a+28，
∵-0.1 ＜ 0，
∴当a=30时，W最小=-0.1×30+28=25（万元）.
此时b=80-2a=80-2×30=20（天）.
∴甲工程队修 30 天，乙工程队修 20 天，最低费用为 25 万元.