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2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学
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1. 一次函数y = 2x + b的图象经过点(3,5),求关于x的不等式2x + b ≥ 0的解集.
答案：
解：
∵$y=2x+b$的图象经过点（3，5），
∴$5=2× 3+b$，解得$b=-1$，
∵$2x+b\geqslant 0$，
∴$2x-1\geqslant 0$，解得$x\geqslant \frac{1}{2}$.
∵$y=2x+b$的图象经过点（3，5），
∴$5=2× 3+b$，解得$b=-1$，
∵$2x+b\geqslant 0$，
∴$2x-1\geqslant 0$，解得$x\geqslant \frac{1}{2}$.
2. 已知(2,$\sqrt{3}$)是一次函数y = $\sqrt{3}x - a$的图象上一点,求(a + 1)(a - 1) + 7的值.
答案：
解：
∵（2，$\sqrt{3}$）是一次函数$y=\sqrt{3}x-a$的图象上一点，
∴$\sqrt{3}=2\sqrt{3}-a$.
∴$a=\sqrt{3}$.
∴原式$=a^{2}-1+7=a^{2}+6=(\sqrt{3})^{2}+6=9$.
∵（2，$\sqrt{3}$）是一次函数$y=\sqrt{3}x-a$的图象上一点，
∴$\sqrt{3}=2\sqrt{3}-a$.
∴$a=\sqrt{3}$.
∴原式$=a^{2}-1+7=a^{2}+6=(\sqrt{3})^{2}+6=9$.
3. 如图4-7所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O分别交AD,BC于点E,F. 求证：OE = OF.
答案：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OA=OC$，$AD// BC$.
∴$\angle DAC=\angle BCA$.又
∵$\angle EOA=\angle FOC$，
∴$\triangle EOA\cong \triangle FOC$（ASA）.
∴$OE=OF$.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OA=OC$，$AD// BC$.
∴$\angle DAC=\angle BCA$.又
∵$\angle EOA=\angle FOC$，
∴$\triangle EOA\cong \triangle FOC$（ASA）.
∴$OE=OF$.
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