《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

1. 如图 5 - 10 所示,$ E $,$ F $ 分别是 $ □ ABCD $ 的边 $ AD $,$ BC $ 上的点,且 $ AE = CF $. 若 $ M $,$ N $ 分别是 $ BE $,$ DF $ 的中点,连接 $ MF $,$ EN $,试判断四边形 $ MFNE $ 是什么四边形,并证明你的结论.

答案： 解：四边形 MFNE 是平行四边形.
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ $ AB = CD $，$ \angle A = \angle C $，$ AD // BC $.
又
∵ $ AE = CF $，
∴ $ \triangle ABE \cong \triangle CDF $（SAS）.
∴ $ \angle AEB = \angle CFD $，$ BE = DF $.
又
∵ M，N 分别是 BE，DF 的中点，
∴ $ ME = FN $.
∵ $ AD // BC $，
∴ $ \angle AEB = \angle FBE $.
∴ $ \angle CFD = \angle FBE $.
∴ $ EB // DF $，即 $ ME // FN $.
∴ 四边形 MFNE 是平行四边形.

2. 在同一平面直角坐标系中,画出函数 $ y_1 = 3x + 3 $ 和 $ y_2 = 5x + 3 $ 的图象.

答案： 对于函数 $y_1 = 3x + 3$：
当 $x = 0$ 时，$y_1 = 3$，得到点 $(0, 3)$；
当 $x = 1$ 时，$y_1 = 6$，得到点 $(1, 6)$；
当 $x = -1$ 时，$y_1 = 0$，得到点 $(-1, 0)$。
在平面直角坐标系中，连接点$(0, 3)$，$(1, 6)$和$(-1, 0)$，画出直线 $y_1 = 3x + 3$。
对于函数 $y_2 = 5x + 3$：
当 $x = 0$ 时，$y_2 = 3$，得到点 $(0, 3)$；
当 $x = 1$ 时，$y_2 = 8$，得到点 $(1, 8)$；
当 $x = -1$ 时，$y_2 = -2$，得到点 $(-1, -2)$。
在平面直角坐标系中，连接点$(0, 3)$，$(1, 8)$和$(-1, -2)$，画出直线 $y_2 = 5x + 3$。