《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

3. 如图 10 - 10 所示,四边形$ABCD$是正方形,点$P是BC$上任意一点,$DE\perp AP于点E$,$BF\perp AP于点F$,$CH\perp DE于点H$,$BF的延长线交CH于点G$。
(1) 求证：$AF - BF = EF$；
(2) 四边形$EFGH$是什么四边形？请证明你的结论。

答案： （1）证明：$ \because DE \perp AP $于点E，$ BF \perp AP $于点F，$ CH \perp DE $于点H，$ \therefore \angle AFB=\angle AED=\angle DHC=90^{\circ} $,$ \therefore \angle ADE+\angle DAE=90^{\circ} $,又$ \because \angle DAE+\angle BAF=90^{\circ} $,$ \therefore \angle ADE=\angle BAF $,在$ \triangle AED $和$ \triangle BFA $中，$ \begin{cases} \angle AED=\angle BFA, \\ \angle EDA=\angle FAB, \\ AD=BA. \end{cases} $$ \therefore \triangle AED \cong \triangle BFA $（AAS）,$ \therefore AE=BF $,$ \therefore AF-AE=EF $,即$ AF-BF=EF $;（2）解：四边形EFGH是正方形.证明：$ \because \angle AFB=\angle AED=\angle DHC=90^{\circ} $,$ \therefore $四边形EFGH是矩形，$ \because \triangle AED \cong \triangle BFA $,同理可得：$ \triangle AED \cong \triangle DHC $,$ \therefore DH=AE $,$ AF=DE $,$ \therefore DE-DH=AF-AE $,$ \therefore EF=EH $,$ \therefore $四边形EFGH是正方形.

4. 如图 10 - 11 所示,在$□ ABCD$中,点$E$,$F分别是边AD$,$BC$的中点,求证：$AF = CE$。

答案： 证明：$ \because $四边形ABCD是平行四边形，$ \therefore AD=BC $,$ AD // BC $.$ \because $点E，F分别是边AD，BC的中点，$ \therefore AE=CF $.$ \therefore $四边形AECF是平行四边形.$ \therefore AF=CE $.

5. 已知一次函数$y = (2a + 4)x-(3 - a)$,当$a$为何值时：
(1) 图象经过原点？
(2) 图象与$y轴的交点在x$轴下方？
(3) 图象经过第一、第三、第四象限？

答案： （1）$ a=3 $;（2）$ a ＜ 3 $且$ a \neq -2 $;（3）$ -2 ＜ a ＜ 3 $.