《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

1. 如图 $12 - 9$ 所示,已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过 $A(-2, -1)$,$B(1, 3)$ 两点,并且交 $x$ 轴于点 $C$,交 $y$ 轴于点 $D$。
(1) 求该一次函数的表达式；
(2) 求 $\triangle AOB$ 的面积。

答案： （1）$y = \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$； （2）$S_{\triangle AOB} = \frac{5}{2}$.

2. 如图 $12 - 10$ 所示,在 $□ ABCD$ 中,延长 $AB$ 到点 $E$,延长 $CD$ 到点 $F$,使 $BE = DF$,求证：$AC$ 与 $EF$ 互相平分。

答案： 证明：连接 CE，AF，在▱ABCD 中，$AB // CD$，$AB = CD$，$\because BE = DF$，$\therefore AB + BE = CD + DF$，即$AE = CF$. 又$\because AE // CF$，$\therefore$四边形 AECF 是平行四边形. $\therefore AC$与 EF 互相平分.

3. 如图 $12 - 11$ 所示,在 $□ ABCD$ 中,$E$ 为 $BC$ 边上的一点,连接 $AE$,$BD$,且 $AE = AB$。
(1) 求证：$\angle ABE = \angle EAD$；
(2) 若 $\angle AEB = 2\angle ADB$,求证：四边形 $ABCD$ 是菱形。

答案： 证明：（1）在▱ABCD 中，$AD // BC$，$\therefore \angle AEB = \angle EAD$. $\because AE = AB$，$\therefore \angle ABE = \angle AEB$. $\therefore \angle ABE = \angle EAD$；（2）$\because AD // BC$，$\therefore \angle ADB = \angle DBE$. $\because \angle ABE = \angle AEB$，$\angle AEB = 2\angle ADB$，$\therefore \angle ABE = 2\angle ADB$. $\therefore \angle ABD = \angle ABE - \angle DBE = 2\angle ADB - \angle ADB = \angle ADB$. $\therefore AB = AD$. 又$\because$四边形 ABCD 是平行四边形，$\therefore$四边形 ABCD 是菱形.