《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

4. 如图 8 - 10 所示,已知四边形$ABCD$是边长为 2 的菱形,$\angle BAD = 60^{\circ}$,对角线$AC与BD交于点O$,过点$O的直线EF交AD于点E$,交$BC于点F$.
(1)求证：$\triangle AOE \cong \triangle COF$；
(2)若$\angle EOD = 30^{\circ}$,求$CE$的长.

答案： （1）证明：$\because$四边形 ABCD 是菱形，$\therefore AO=CO$，$AD// BC$. $\therefore \angle OAE=\angle OCF$. 在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases} \angle OAE=\angle OCF, \\ AO=CO, \\ \angle AOE=\angle COF. \end{cases}$ $\therefore \triangle AOE\cong \triangle COF$（ASA）；（2）$\frac{\sqrt{21}}{2}$.

5. 如图 8 - 11 所示,在$□ ABCD$中,$E$,$F分别为边AB$,$CD$的中点,$BD$是对角线,$AG // DB交CB的延长线于点G$.
(1)求证：$\triangle ADE \cong \triangle CBF$；
(2)若四边形$BEDF$是菱形,则四边形$AGBD$是什么特殊的四边形？证明你的结论.

答案： （1）证明：在$□ ABCD$中，$AD=BC$，$AB=CD$，$\angle DAE=\angle C$. $\because$ E，F 分别是 AB，CD 的中点，$\therefore AE=CF$. $\therefore \triangle ADE\cong \triangle CBF$（SAS）；（2）解：四边形 AGBD 是矩形. 证明：$\because$四边形 ABCD 是平行四边形，$\therefore AD// BC$. $\because AG// BD$，$\therefore$四边形 AGBD 是平行四边形. $\because$四边形 BEDF 是菱形，$\therefore DE=BE$. $\because AE=BE$，$\therefore AE=BE=DE$. $\therefore \angle EBD=\angle EDB$，$\angle EAD=\angle EDA$. $\because \angle EBD+\angle EDB+\angle EAD+\angle EDA=180^{\circ}$，$\therefore 2\angle EBD+2\angle EDA=180^{\circ}$，$\therefore \angle EBD+\angle EDA=90^{\circ}$. 即$\angle ADB=90^{\circ}$. $\therefore$四边形 AGBD 是矩形.