《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

1. 如图6-7所示,$A$,$B两座城市相距100$千米,现计划要在两座城市之间修筑一条高速公路(即线段$AB$)。经测量,森林保护区中心点$P在A城市的北偏东30^{\circ}$方向,$B城市的北偏西45^{\circ}$方向上。已知森林保护区的范围在以$P$为圆心,$50$千米为半径的圆形区域内。请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿过森林保护区？为什么？

答案： 解：不会穿过森林保护区.
理由：过点P作$PD\perp AB$，垂足为D. 由题意可得，$\angle APD=30^{\circ}$，$\angle BPD=45^{\circ}$.
设$AD=x$，在$Rt\triangle APD$中，$AP=2AD=2x$，
$PD=\sqrt{AP^{2}-AD^{2}}=\sqrt{3}x$.
在$Rt\triangle PBD$中，$BD=PD=\sqrt{3}x$.
$\because AB=AD+BD$，$\therefore 100=x+\sqrt{3}x$，
解得$x=50(\sqrt{3}-1)$.
$\therefore PD=\sqrt{3}x=50(3-\sqrt{3})＞50$.
$\therefore$不会穿过森林保护区.

2. 如图6-8所示,在$\triangle ABC$中,点$O是边AC$上一个动点,过点$O作直线MN// BC$。设$MN交\angle ACB的平分线于点E$,交$\angle ACB的外角平分线于点F$。
(1)求证：$OE = OF$；
(2)若$CE = 12$,$CF = 5$,求$OC$的长；
(3)当点$O在边AC$上运动到什么位置时,四边形$AECF$是矩形？请说明理由。

答案： （1）证明：$\because MN$交$\angle ACB$的平分线于点E，交$\angle ACB$的外角平分线于点F，
$\therefore \angle ACE=\angle BCE$，$\angle ACF=\angle DCF$.
$\because MN// BC$，
$\therefore \angle OEC=\angle BCE$，$\angle OFC=\angle DCF$，
$\therefore \angle OEC=\angle ACE$，$\angle OFC=\angle ACF$.
$\therefore OE=OC$，$OF=OC$，$\therefore OE=OF$；
（2）$OC=6.5$；
（3）解：当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
理由：当O为AC的中点时，$OA=OC$.
$\because OE=OF$，$\therefore$四边形AECF是平行四边形.
$\because \angle ECF=\angle OCE+\angle OCF$
$=\frac{1}{2}\angle BCD=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形AECF是矩形.