《2025年暑假综合练习河北人民出版社八年级数学》

1. 计算：$3 × 2^0 - (\frac{1}{2})^{-2} + \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$。

答案： √3

2. 如图13 - 8所示,在$\triangle ABC$中,$\angle B = \angle C$,$D是BC$的中点,$DE \perp AB$,$DF \perp AC$,垂足分别为$E$,$F$。求证：
(1) $\triangle BDE \cong \triangle CDF$；
(2) 当$\triangle ABC$为直角三角形时,四边形$AEDF$是正方形。

答案：
(1)
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.
又
∵∠B=∠C，BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
(2)
∵∠DEA=∠DFA=∠A=90°，
∴ 四边形 AEDF 是矩形.
又
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF.
∴ 四边形 AEDF 是正方形.

3. 已知$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边长,并且满足$a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4$,试判断$\triangle ABC$的形状。

答案： 解：由a²c² - b²c²=a⁴ - b⁴，
得(a² - b²)c²=(a² + b²)(a² - b²)，
整理得(a² - b²)(a² + b² - c²)=0.
∴a² - b²=0或a² + b² - c²=0.
即a=b或a² + b²=c².
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.