《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版福建专版》

15. 如图,已知四边形 $ ABCD $ 是平行四边形, $ P $ 为 $ DC $ 延长线上一点, $ AP $ 分别交 $ BD $, $ BC $于点 $ M $, $ N $。
(1) 求证： $ AM^2 = MN \cdot MP $；
(2) 若 $ AD = 6 $, $ DC : CP = 2 : 1 $,求 $ BN $的长。

答案： 提示：
(1)通过证明$\triangle ADM \backsim \triangle NBM$，$\triangle PDM \backsim \triangle ABM$，可得$\frac{AM}{MN}=\frac{DM}{BM}=\frac{PM}{AM}$，即可得结论.
(2)通过证明$\triangle PCN \backsim \triangle PDA$，可得$\frac{PC}{PD}=\frac{NC}{AD}$，可求$NC=2$，即可求得$BN$的长为 4.

16. 定义：在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $, $ E $, $ F $ 分别是边 $ AB $, $ BC $, $ CA $ 上的动点,若 $ \triangle DEF \sim \triangle ABC $(点 $ D $, $ E $, $ F $ 的对应点分别为点 $ A $, $ B $, $ C $),则称 $ \triangle DEF $ 是 $ \triangle ABC $ 的“子三角形”。
(1) 如图①, $ \triangle ABC $ 是等边三角形,点 $ D $, $ E $, $ F $ 分别是边 $ AB $, $ BC $, $ CA $ 上的动点,且 $ AD = BE = CF $。求证： $ \triangle DEF $ 是 $ \triangle ABC $ 的“子三角形”；
(2) 如图②, $ \triangle DEF $ 是 $ \triangle ABC $ 的子三角形,且 $ AB = AC $, $ \angle A = 90° $,若 $ BE = \sqrt{2} $,求 $ CF $和 $ AD $ 的长。

答案：
解：
(1)如图①，通过证明$\triangle DAF \cong \triangle EBD \cong \triangle FCE$，可得到$DE=EF=DF$，即$\triangle DEF$是等边三角形，从而可得$\triangle DEF \backsim \triangle ABC$. 因此$\triangle DEF$是$\triangle ABC$的“子三角形”.
　　　　　
(2)如图②，作$EH \perp AB$于点$H$.
由$\triangle DEF$是$\triangle ABC$的子三角形，知$\triangle DEF \backsim \triangle ABC$，得$DE=DF$，$\angle EDF=90°$，所以有$\angle ADF+\angle AFD=90°$，$\angle ADF+\angle EDH=90°$，继而得到$\angle EDH=\angle AFD$，因此$\triangle DEH \cong \triangle FDA$，所以$AD=HE$.
所以$AD=HE=\frac{\sqrt{2}}{2} × \sqrt{2}=1$.
由$\triangle BDE \backsim \triangle CEF$，得$\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得$CF=2$.