《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版福建专版》

1. 一条线段的黄金分割点有(B)。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B

2. 已知点 $ M $ 为线段 $ AB $ 的黄金分割点 $ (AM ＞ BM) $,则下列各式中不正确的是(C)。
A.$ AM : BM = AB : AM $
B.$ AM = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB $
C.$ BM = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB $
D.$ AM \approx 0.618AB $

答案： C

3. 德国著名天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿。”现将底与腰之比或腰与底之比为 $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $ 的等腰三角形称为黄金三角形,它是一个顶角为 $ 36^{\circ} $ 或 $ 108^{\circ} $ 的等腰三角形。如图,$ \triangle ABC $,$ \triangle BCD $,$ \triangle ADE $ 都是黄金三角形。若 $ AB = 2 $,则 $ DE $ 的大小为(C)。

A.$ \sqrt{5} - 1 $
B.$ \frac{\sqrt{5} + 1}{2} $
C.2
D.$ \sqrt{5} + 1 $

答案： C

4. 当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比 $ 0.618 $ 时,身材是最完美的。一位身高为 $ 165\ cm $,肚脐到头顶高度为 $ 65\ cm $ 的女性,应穿鞋跟为 5 cm的高跟鞋才能使身材最完美。(精确到 $ 1\ cm $)

答案： 5 cm

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 是 $ AC $ 边上一点,$ \angle A = 36^{\circ} $,$ \angle C = 72^{\circ} $,$ \angle ADB = 108^{\circ} $。
(1)求证：$ AD = BD = BC $；
(2)求证：点 $ D $ 是线段 $ AC $ 的黄金分割点。

答案：
(1)略.
(2)证明△ABC∽△BCD,$AD^{2}=AC\cdot CD$.