《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版福建专版》

6. 如图,以长为 $ 2 $ 的线段 $ AB $ 为边作正方形 $ ABCD $,取 $ AB $ 的中点 $ P $,连接 $ PD $,在 $ BA $ 的延长线上取点 $ F $,使 $ PF = PD $,以 $ AF $ 为边作正方形 $ AMEF $,点 $ M $ 在 $ AD $ 上。
(1)求 $ AM $,$ DM $ 的长；
(2)求证：$ AM^{2} = AD \cdot DM $；
(3)根据(2)的结论,可推出图中的黄金分割点是点 ______ 。

(1)$AM=\sqrt {5}-1$,$DM=3-\sqrt {5}$
(2)略
(3)M

答案：
(1)$AM=\sqrt {5}-1$,$DM=3-\sqrt {5}$.
(2)略.
(3)M.

7. 宽与长的比是 $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $ 的矩形叫黄金矩形。心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感。现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：
第一步：作一个正方形 $ ABCD $；
第二步：分别取 $ AD $,$ BC $ 的中点 $ M $,$ N $,连接 $ MN $；
第三步：以 $ N $ 为圆心,$ ND $ 长为半径画弧,交 $ BC $ 的延长线于点 $ E $；
第四步：过点 $ E $ 作 $ EF \perp AD $,交 $ AD $ 的延长线于点 $ F $。
请根据以上作法,证明矩形 $ DCEF $ 为黄金矩形。

答案： 设正方形ABCD的边长为2a。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2a，∠BCD=90°。
∵N是BC的中点，
∴NC=BC/2= a。
在Rt△NCD中，NC=a，CD=2a，由勾股定理得：
ND=√(NC²+CD²)=√(a²+(2a)²)=√(5a²)=a√5。
∵以N为圆心，ND为半径画弧交BC延长线于E，
∴NE=ND=a√5。
∵点E在BC延长线上，N为BC中点，
∴CE=NE-NC=a√5 - a=a(√5 -1)。
∵四边形DCEF是矩形（EF⊥AD，CD⊥AD，故∠DCE=∠CEF=∠EFD=∠FDC=90°），
∴矩形DCEF的宽为CE=a(√5 -1)，长为CD=2a。
∴宽与长的比为CE/CD=[a(√5 -1)]/(2a)=(√5 -1)/2。
即矩形DCEF为黄金矩形。