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9. 如图,$AC$ 是 $□ ABCD$ 的对角线,$\angle BAC = \angle DAC$。
(1)求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
(2)若 $AB = 2$,$AC = 2\sqrt{3}$,求四边形 $ABCD$ 的面积。
(1)求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
(2)若 $AB = 2$,$AC = 2\sqrt{3}$,求四边形 $ABCD$ 的面积。
答案：
提示:
(1)由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA,再由已知条件得出∠BAC=∠BCA,即可得出AB=BC,进而证明四边形ABCD是菱形.
(2)$2\sqrt{3}$.
(1)由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA,再由已知条件得出∠BAC=∠BCA,即可得出AB=BC,进而证明四边形ABCD是菱形.
(2)$2\sqrt{3}$.
10. 如图,分别以 $\triangle ABC$ 的三边为边在 $BC$ 的同一侧作等边三角形 $ABP$,等边三角形 $ACQ$,等边三角形 $BCR$。
(1)四边形 $QRPA$ 是平行四边形吗？若是,请证明；若不是,请说明理由。
(2)当 $\triangle ABC$ 满足什么条件时,四边形 $QRPA$ 是矩形？请说明理由。
(1)四边形 $QRPA$ 是平行四边形吗？若是,请证明；若不是,请说明理由。
(2)当 $\triangle ABC$ 满足什么条件时,四边形 $QRPA$ 是矩形？请说明理由。
答案：
提示:
(1)是,由SAS可证△BRP≌△BCA,△CAB≌△CQR,进而可得PR=AC,AB=RQ,可得RP=AQ,AP=RQ,可得结论.
(2)当∠BAC=150°时,由周角的性质可得∠PAQ=90°,因此四边形QRPA是矩形.
(1)是,由SAS可证△BRP≌△BCA,△CAB≌△CQR,进而可得PR=AC,AB=RQ,可得RP=AQ,AP=RQ,可得结论.
(2)当∠BAC=150°时,由周角的性质可得∠PAQ=90°,因此四边形QRPA是矩形.
11. (1)如图①,在正方形 $ABCD$ 中,$M$ 是 $BC$ 边(不含端点 $B$,$C$)上任意一点,$P$ 是 $BC$ 延长线上一点,$N$ 是 $\angle DCP$ 的平分线上一点,若 $\angle AMN = 90^{\circ}$,求证：$AM = MN$。
(2)若将(1)中的“正方形 $ABCD$”改为“等边三角形 $ABC$”(如图②),$N$ 是 $\angle ACP$ 的平分线上一点,则当 $\angle AMN = 60^{\circ}$ 时,结论 $AM = MN$ 是否还成立？请说明理由。
(2)若将(1)中的“正方形 $ABCD$”改为“等边三角形 $ABC$”(如图②),$N$ 是 $\angle ACP$ 的平分线上一点,则当 $\angle AMN = 60^{\circ}$ 时,结论 $AM = MN$ 是否还成立？请说明理由。
答案：
提示:
(1)在AB边上截取AE=MC,连接ME,由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°,再由ASA即可判定两三角形全等.
(2)成立.还是利用ASA证明两三角形全等,证明方法同
(1).
(1)在AB边上截取AE=MC,连接ME,由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°,再由ASA即可判定两三角形全等.
(2)成立.还是利用ASA证明两三角形全等,证明方法同
(1).
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