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1. 如图,等边三角形 $ ABC $ 的边长为 $ 3 $,$ P $ 为 $ BC $ 上一点,且 $ BP = 1 $,$ D $ 为 $ AC $ 上一点。若 $ \angle APD = 60° $,则 $ CD $ 的长为(
A.$ \dfrac{4}{5} $
B.$ \dfrac{3}{4} $
C.$ \dfrac{2}{3} $
D.$ \dfrac{1}{2} $
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C
)。A.$ \dfrac{4}{5} $
B.$ \dfrac{3}{4} $
C.$ \dfrac{2}{3} $
D.$ \dfrac{1}{2} $
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答案：
C
2. 已知 $ \triangle ABC $ 的三条边长分别为 $ 6 $,$ 7.5 $,$ 9 $,$ \triangle DEF $ 的一边长为 $ 4 \, cm $,当 $ \triangle DEF $ 的另两条边长是下列哪一组时,这两个三角形相似？(
A.$ 6 $,$ 7 $
B.$ 5 $,$ 6 $
C.$ 4 $,$ 5 $
D.$ 2 $,$ 3 $
B
)A.$ 6 $,$ 7 $
B.$ 5 $,$ 6 $
C.$ 4 $,$ 5 $
D.$ 2 $,$ 3 $
答案：
B
3. 如图,四边形 $ ABCD $ 为矩形,且 $ \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AM}{AN} = \dfrac{DM}{BN} $,则 $ \angle MAN $ 的度数为
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$90°$
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答案：
$90°$
4. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ AD = 5 \, cm $,$ AB = 3 \, cm $,$ E $ 为 $ AD $ 上一点,且 $ BE = BC $,$ CE = CD $,则 $ DE = $
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1.8 cm
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答案：
1.8 cm
5. 如图,已知 $ AD = 28 $,$ AB = 14 $,$ BD = 21 $,$ BC = 42 $,$ DC = 31.5 $,$ AB $ 与 $ DC $ 平行吗？请说明理由。
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答案：
平行. 理由略.
6. 在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A'B'C' $ 中,已知 $ BE $,$ B'E' $ 分别是 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A'B'C' $ 的中线,且 $ \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{BE}{B'E'} = \dfrac{AC}{A'C'} $。
求证：$ \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' $。
求证：$ \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' $。
答案：
证明：
∵BE，B'E'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴E为AC中点，E'为A'C'中点，
∴EC=AC/2，E'C'=A'C'/2。
设BC/B'C'=BE/B'E'=AC/A'C'=k，则AC=kA'C'，
∴EC=AC/2=kA'C'/2=k·(A'C'/2)=kE'C'，
∴EC/E'C'=k。
在△BEC和△B'E'C'中，
BC/B'C'=BE/B'E'=EC/E'C'=k，
∴△BEC∽△B'E'C'（三边成比例的两个三角形相似），
∴∠C=∠C'（相似三角形对应角相等）。
在△ABC和△A'B'C'中，
AC/A'C'=BC/B'C'=k，∠C=∠C'，
∴△ABC∽△A'B'C'（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
结论：△ABC∽△A'B'C'。
∵BE，B'E'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴E为AC中点，E'为A'C'中点，
∴EC=AC/2，E'C'=A'C'/2。
设BC/B'C'=BE/B'E'=AC/A'C'=k，则AC=kA'C'，
∴EC=AC/2=kA'C'/2=k·(A'C'/2)=kE'C'，
∴EC/E'C'=k。
在△BEC和△B'E'C'中，
BC/B'C'=BE/B'E'=EC/E'C'=k，
∴△BEC∽△B'E'C'（三边成比例的两个三角形相似），
∴∠C=∠C'（相似三角形对应角相等）。
在△ABC和△A'B'C'中，
AC/A'C'=BC/B'C'=k，∠C=∠C'，
∴△ABC∽△A'B'C'（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
结论：△ABC∽△A'B'C'。
7. 如图,$ \angle ABD = \angle BCD = 90° $,$ DB $ 平分 $ \angle ADC $,过点 $ B $ 作 $ BM // CD $ 交 $ AD $ 于点 $ M $。连接 $ CM $ 交 $ DB $ 于点 $ N $。
(1)求证：$ BD^2 = AD \cdot CD $；
(2)若 $ CD = 6 $,$ AD = 8 $,求 $ MN $ 的长。
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(1)求证：$ BD^2 = AD \cdot CD $；
(2)若 $ CD = 6 $,$ AD = 8 $,求 $ MN $ 的长。
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答案：
(1)证明：
∵DB 平分∠ADC,
∴∠ADB=∠BDC, 且∠ABD=∠BCD=90°,
∴△ABD∽△BCD,
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$, 即$BD^2=AD\cdot CD$.
(2)解：
∵BM//CD,
∴∠MBD=∠BDC,
∴∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°,
∴BM=MD,∠MAB=∠MBA,
∴BM=MD=AM=4.
∵$BD^2=AD\cdot CD$,且CD=6,AD=8,
∴$BD^2=48$,
∴$BC^2=BD^2-CD^2=12$,
∴$MC^2=MB^2+BC^2=28$,
∴$MC=2\sqrt{7}$.
∵BM//CD,
∴△MNB∽△CND,
∴$\frac{BM}{CD}=\frac{MN}{CN}=\frac{2}{3}$,且MC=2$\sqrt{7}$,
∴$MN=\frac{4}{5}\sqrt{7}$.
(1)证明：
∵DB 平分∠ADC,
∴∠ADB=∠BDC, 且∠ABD=∠BCD=90°,
∴△ABD∽△BCD,
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$, 即$BD^2=AD\cdot CD$.
(2)解：
∵BM//CD,
∴∠MBD=∠BDC,
∴∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°,
∴BM=MD,∠MAB=∠MBA,
∴BM=MD=AM=4.
∵$BD^2=AD\cdot CD$,且CD=6,AD=8,
∴$BD^2=48$,
∴$BC^2=BD^2-CD^2=12$,
∴$MC^2=MB^2+BC^2=28$,
∴$MC=2\sqrt{7}$.
∵BM//CD,
∴△MNB∽△CND,
∴$\frac{BM}{CD}=\frac{MN}{CN}=\frac{2}{3}$,且MC=2$\sqrt{7}$,
∴$MN=\frac{4}{5}\sqrt{7}$.
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