《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版福建专版》

11. 观察下列一元二次方程,并回答问题：
第$1$个方程：$x^{2} + x = 0$；
第$2$个方程：$x^{2} - 1 = 0$；
第$3$个方程：$x^{2} - x - 2 = 0$；
第$4$个方程：$x^{2} - 2x - 3 = 0$；
第$5$个方程：$x^{2} - 3x - 4 = 0$；
……
(1)第$2023$个方程是$x^{2}-2021x-2022=0$；
(2)第$n$个方程是$x^{2}-(n-2)x-(n-1)=0$,第$n$个方程的解是$x_{1}=-1,x_{2}=n-1$；
(3)这列一元二次方程的解的一个共同特点是有一个根是$x=-1$.

答案：
(1)$x^{2}-2021x-2022=0$
(2)$x^{2}-(n-2)x-(n-1)=0,$$x_{1}=-1,x_{2}=n-1$
(3)有一个根是$x=-1$

12. 解方程$(x + 1)^{2} - 3(x + 1) + 2 = 0$时,我们可以将$x + 1$看成一个整体,设$x + 1 = y$,则原方程可化为$y^{2} - 3y + 2 = 0$,解得$y_{1} = 1$,$y_{2} = 2$.当$y_{1} = 1$时,$x + 1 = 1$,解得$x = 0$；当$y_{2} = 2$时,$x + 1 = 2$,解得$x = 1$,所以原方程的解为$x_{1} = 0,x_{2} = 1$.
请利用这种方法解方程：$(2x + 3)^{2} - 6(2x + 3) - 7 = 0$.

答案： $x_{1}=2,x_{2}=-2.$

13. 若规定关于两实数$a,b的运算a * b = 4ab$,例如$2 * 6 = 4×2×6 = 48$.
(1)求$x * x + 2 * x - 2 * 4 = 0中x$的值；
(2)若无论$x$为何值,总有$a * x = x$,求$a$的值.

答案：
(1)$x=-4$或$x=2.$
(2)$a=\frac {1}{4}.$