《2025年一遍过九年级初中数学上册人教版》

1 [2024新乡一中期中]如图,AB为$\odot O$的直径,如果圆上的点D恰使$∠ADC= ∠B$,求证：直线CD与$\odot O$相切。

答案：
证明:如图，连接OD.
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∵∠ADC=∠B,
∴∠ODA+∠ADC=90°,
即∠CDO=90°,
∴CD⊥OD.
∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切.

2 [2025南京秦淮区期中]如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,过点C作射线CD,使$∠ACD= ∠ABC$。求证：CD与$\odot O$相切。

答案：
证明:如图，延长DC,设为CN.延长CO交⊙O于点M,连接BM.
∴∠MBC=90°,
∴∠M+∠BCM=90°.
∵∠A=∠M,
∴∠A+∠BCM=90°.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠ACD+∠ACB+∠BCN=180°,∠ACD=∠ABC,
∴∠A=∠BCN,
∴∠BCN+∠BCM=90°,
即∠OCN=90°,
∴OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切.

3 [2025南宁天桃实验学校期中]如图,AB为半圆O的直径,C为半圆上一点,D为AC的中点,过点C作半圆O的切线交OD的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接EA。
(1)求证：EA是半圆O的切线。
(2)若$CE= 3$,$CF= 2$,求半圆O的半径。

答案：
3　
(1)证明:如图,连接OC,
则OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA.
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC,
∴OD垂直平分AC,
∴AE=CE,
∴∠EAC=∠ECA.
∵EF与⊙O相切于点C,
∴EF⊥OC,
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=∠OCA+∠ECA=∠OCE=90°.
∵OA是⊙O的半径,且EA⊥OA,
∴EA是半圆O的切线.

(2)解:
∵CE= 3,CF= 2,EC,EA均与半圆O相切,
∴AE=CE=3,EF=CE+CF=3+2=5,
∴AF=$\sqrt{EF^2 - AE^2}$=$\sqrt{5^2 - 3^2}$=4.
∵$S_{\triangle AEF}=S_{\triangle AOE}+S_{\triangle FOE}=\frac{1}{2}AE\cdot OA+\frac{1}{2}EF\cdot OC$,且$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}AE\cdot AF=\frac{1}{2}×3×4=6$,
∴$\frac{1}{2}×3OA+\frac{1}{2}×5OA=6$,
∴OA=$\frac{3}{2}$,
∴半圆O的半径为$\frac{3}{2}$.
(还可以这样求半圆Oの半径:设OA=OB=OC=x，则OF=4 - x;在Rt△OCF中;$OF^2 = OC^2 + CF^2$,即$(4 - x)^2 = x^2 + 2^2$,
解得x=$\frac{3}{2}$)

4 [2025福州期中]如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ}$,BD是角平分线,以点D为圆心,DA长为半径作$\odot D$。求证：BC是$\odot D$的切线。

答案：
证明:如图,过点D作DE⊥BC于点E.
∵∠BAD=90°,BD是角平分线,
∴AD=DE.
∴DE是⊙D的半径.
又
∵DE⊥BC,
∴BC是⊙D的切线.